Чи не виражається негативний двочлен як у експоненціальній родині, якщо є 2 невідомих?

У мене було домашнє завдання висловити негативний біноміальний розподіл як експоненціальне сімейство розподілів, враховуючи, що параметр дисперсії був відомою постійною. Це було досить просто, але я задумався, чому вони вимагають, щоб ми тримали цей параметр фіксованим. Я виявив, що не можу придумати спосіб встановити його у правильній формі, незважаючи два параметри.

Заглянувши в Інтернет, я виявив твердження, що це неможливо. Однак я не знайшов доказів того, що це правда. Я, здається, і сам не придумав. Хтось має доказ цього?

Як вимагається нижче, я додав пару претензій:

"Сімейство негативних біноміальних розподілів з фіксованою кількістю відмов (також параметр часу зупинки) r є експоненціальною сім'єю. Однак, коли будь-якому з вищезазначених фіксованих параметрів дозволено змінюватися, отримане сімейство не є експоненціальною сім'єю. " http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_family

"Двопараметричний негативний біноміальний розподіл не є членом експоненціального сімейства. Але якщо ми розглядаємо параметр дисперсії як відому, фіксовану константу, то він є членом." http://www.unc.edu/courses/2006spring/ecol/145/001/docs/lectures/lecture21.htm

— Ларрі
джерело

Я додав пару претензій вище.

— Ларрі

Якщо ви подивитеся на щільність негативного біноміального розподілу відносно міри підрахунку для множини цілих чисел, частина у цій щільності не може бути виражається як .

\begin{aligned} p (x | N, p) & = (\binom{x + N - 1}{N - 1}) p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1)!}{x! (N - 1)!} p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1) \dots (x + 1)}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} \\ = \frac{\exp {N \log (p)}}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} (x + N - 1) \dots (x + 1) \end{aligned}

$\begin{align*}p(x|N,p)&={x+N-1\choose{N-1}}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)!}{x!(N-1)!}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)\cdots(x+1)}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}\\ &= \frac{\exp\left\{N\log(p)\right\}}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}(x+N-1)\cdots(x+1)\end{align*}$

(x + N - 1) \dots (x + 1)

$(x+N-1)\cdots(x+1)$

\exp {A (N)^{T} B (x)}

$\exp\left\{ A(N)^\text{T}B(x)\right\}$

— Сіань
джерело