Чому квадратна різниця замість того, щоб приймати абсолютне значення в стандартному відхиленні?

У визначенні стандартного відхилення, чому нам доводиться квадратну відмінність від середнього, щоб отримати середнє (E), і повернути квадратний корінь назад в кінці? Чи не можемо ми просто просто взяти абсолютне значення різниці замість цього і отримати очікуване значення (середнє значення), а чи не буде це також показано варіацію даних? Число буде відрізнятися від квадратного методу (метод абсолютного значення буде меншим), але він все одно повинен показувати поширення даних. Хтось знає, чому ми приймаємо цей квадратний підхід як стандарт?

Визначення стандартного відхилення:

$\sigma = \sqrt{E\left[\left(X - \mu\right)^2\right]}.$

Чи не можемо ми просто взяти абсолютне значення замість цього і все-таки бути хорошим вимірюванням?

$\sigma = E\left[|X - \mu|\right]$

Якщо мета стандартного відхилення полягає в підведенні підсумків поширення симетричного набору даних (тобто загалом, наскільки кожна дата знаходиться від середньої величини), то нам потрібен хороший метод визначення способу вимірювання цього поширення.

До переваг квадратури належать:

• Квадратування завжди дає позитивне значення, тому сума не буде нульовою.
• Квадратура підкреслює більші відмінності - особливість, яка виявляється як хорошою, так і поганою (подумайте про те, який ефект надають).

Однак у квадратиків є проблема як показник спред, і це те, що всі одиниці розміщені в квадраті, тоді як ми можемо вважати за краще, щоб спред був у тих самих одиницях, що і вихідні дані (подумайте про квадратні фунти, квадратні долари або яблука в квадраті) . Отже квадратний корінь дозволяє повернутися до початкових одиниць.

Я припускаю, що можна сказати, що абсолютна різниця приділяє рівну вагу поширенню даних, тоді як квадратура підкреслює крайності. Технічно, хоча, як зазначали інші, квадратування полегшує роботу алгебри і пропонує властивості, яких не має абсолютний метод (наприклад, дисперсія дорівнює очікуваному значенню квадрата розподілу за мінусом квадрата середнє значення розподілу)

Важливо зауважити, що немає причин, щоб ви не могли взяти абсолютну різницю, якщо це ваше перевагу щодо того, як ви хочете переглянути "поширення" (як-то, як деякі люди бачать 5% як якийсь магічний поріг для -значень, коли насправді це залежить від ситуації). Дійсно, існує кілька конкуруючих методів вимірювання поширення.$p$

Моя думка полягає у використанні значень у квадраті, тому що мені подобається думати, як це стосується піфагорійської теоретики статистики: ... це також допомагає мені пам'ятати, що при роботі з незалежними випадковими змінними додаються відхилення, стандартні відхилення не мають. Але це лише мої особистісні суб'єктивні переваги, які я здебільшого використовую лише як допомогу пам’яті, сміливо ігноруйте цей параграф.$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Набагато більш глибокий аналіз можна прочитати тут .

Різниця у квадраті має приємніші математичні властивості; це постійно диференціюється (приємно, коли ви хочете його мінімізувати), це достатня статистика для розподілу Гаусса, і це (версія) норма L2, яка корисна для доведення конвергенції тощо.

Середнє абсолютне відхилення (запропоноване вами позначення абсолютного значення) також використовується як міра дисперсії, але це не так "добре поводиться", як помилка квадрата.

Один із способів можна подумати про це, що стандартне відхилення схоже на "відстань від середнього".

Порівняйте це з відстанями в евклідовому просторі - це дає вам справжню відстань, де те, що ви запропонували (що, до речі, є абсолютним відхиленням ), більше схоже на розрахунок відстані на Манхеттені .

Причина , що ми розрахувати стандартне відхилення замість абсолютної похибки в тому , що ми в припущенні про помилку , щоб бути нормально розподілені . Це частина моделі.

Припустимо, ви вимірювали дуже малі довжини лінійкою, тоді стандартне відхилення - це поганий показник помилки, оскільки ви знаєте, що ніколи не випадково вимірите від'ємну довжину. Кращий показник міг би допомогти пристосувати розподіл гамми до ваших вимірювань:

$\log(E(x)) - E(\log(x))$

Як і стандартне відхилення, це також є негативним та диференційованим, але це краща статистика помилок для цієї проблеми.

Відповідь, яка мене найбільше задовольнила, полягає в тому, що вона природно випадає з узагальнення вибірки до n-мірного евклідового простору. Це, безумовно, дискусійно, чи варто щось робити, але в будь-якому випадку:

Припустимо, що ваші вимірювань X i - це кожна вісь у R n . Тоді ваші дані x я визначаю крапку x у цьому просторі. Тепер ви можете помітити, що всі дані дуже схожі між собою, тому ви можете представити їх за допомогою одного параметра розташування μ , обмеженого лежати на лінії, визначеній X i = μ . Проектуючи свій Datapoint на цій лінії отримує ви $n$$X_i$$\mathbb R^n$$x_i$$\bf x$$\mu$$X_i=\mu$ , а відстань від проектованої точки$\hat\mu=\bar x$фактичної точки даних є$\hat\mu\bf 1$.$\sqrt{\frac{n-1} n}\hat\sigma=\|\bf x-\hat\mu\bf 1\|$

Цей підхід також отримує вас геометричну інтерпретацію для .$\hat\rho=\cos \angle(\vec{\bf\tilde x},\vec{\bf\tilde y})$

Вирахування різниці від середнього має декілька причин.

• Варіант визначається як 2-й момент відхилення (ось тут RV ), і таким чином квадрат як моменти є просто очікуванням вищих потужностей випадкової величини.$(x-\mu)$

• Наявність квадрата на відміну від функції абсолютного значення дає приємну безперервну і диференційовану функцію (абсолютна величина не диференційована при 0) - що робить її природним вибором, особливо в контексті аналізу та регресійного аналізу.

• Формуляр у формі квадрата також природно випадає з параметрів Нормального розподілу.

Ще одна причина (на додаток до відмінних вище) походить від самого Фішера, який показав, що стандартне відхилення є "ефективнішим", ніж абсолютне відхилення. Тут ефективність стосується того, наскільки статистика буде коливатися у вартості для різних вибірок у популяції. Якщо ваша популяція нормально розподілена, стандартне відхилення різних вибірок від цієї сукупності в середньому буде, як правило, давати вам значення, які приблизно подібні один одному, тоді як абсолютне відхилення дасть вам цифри, які поширюються трохи більше. Зараз, очевидно, це в ідеальних обставинах, але ця причина переконала багато людей (разом з тим, щоб математика була чистішою), тому більшість людей працювали зі стандартними відхиленнями.

Просто, щоб люди знали, є питання про переповнення математики на ту саму тему.

Чому-це-так-круто-до-квадрат-цифри-в термінах-пошуку-стандарт-відхилення

Повідомлення відбирає те, що використання квадратного кореня дисперсії призводить до простішої математики. Аналогічну відповідь дають Річ і Рід вище.

$\newcommand{\var}{\operatorname{var}}$ Варіанти адитивні: для незалежних випадкових величин , var ( X 1 + ⋯ + X n ) = var ( X 1 ) + ⋯ + var ( X n ) $X_1,\ldots,X_n$

$$\var(X_1+\cdots+X_n)=\var(X_1)+\cdots+\var(X_n).$$

Зверніть увагу, що це робить можливим: скажіть, що я кидаю чесну монету 900 разів. Яка ймовірність того, що кількість головок, які я отримую, становить від 440 до 455 включно? Просто знайдіть очікувану кількість голів ( ) та дисперсію кількості голів ( 225 = 15 2 ), а потім знайдіть ймовірність при нормальному (або гауссовому) розподілі з очікуванням$450$$225=15^2$ та стандартному відхиленні 15 між 439,5 і 455,5 . Авраам де Моївр це зробив з монетними кидками у 18 столітті, тим самим вперше показавши, що крива дзвіночка чогось варта.$450$$15$$439.5$$455.5$

Я думаю, що контраст між використанням абсолютних відхилень та відхилень у квадраті стає чіткішим, коли ви виходите за межі однієї змінної та думаєте про лінійну регресію. Є приємна дискусія на веб-сайті http://en.wikipedia.org/wiki/Least_absolute_deviations , зокрема розділ "Контрастні найменші квадрати з найменшими абсолютними відхиленнями", який посилається на деякі вправи для студентів із акуратним набором аплетів на http: // www .math.wpi.edu / Course_Materials / SAS / lablets / 7.3 / 73_choices.html .

Підводячи підсумок, найменші абсолютні відхилення є більш стійкими для людей, що випадають, ніж звичайні найменші квадрати, але вони можуть бути нестабільними (невелика зміна навіть однієї дати може призвести до великих змін у встановленому рядку) і не завжди має унікальне рішення - це може бути цілий ряд прилаштованих ліній. Крім того, найменші абсолютні відхилення вимагають ітеративних методів, тоді як звичайні найменші квадрати мають просте рішення закритої форми, хоча це вже не така велика справа, як це було, звичайно, за часів Гаусса та Легендра.

Причин багато; Мабуть, головне в тому, що він добре працює як параметр нормального розподілу.

Багато в чому використання стандартного відхилення для узагальнення дисперсії приходить до висновку. Можна сказати, що SD неявно передбачає симетричний розподіл через однакове трактування відстані нижче середнього, ніж відстань вище середнього. СД напрочуд важко інтерпретувати нестатистам. Можна стверджувати, що середня різниця Джині має ширше застосування і є значно більш зрозумілою. Це не вимагає заявляти про свій вибір міри центральної тенденції, як це використовується в середньому. Середня різниця Джині - це середня абсолютна різниця між будь-якими двома різними спостереженнями. Окрім того, що він є надійним і легким для інтерпретації, він може бути 0,98 таким же ефективним, як і SD, якщо розподіл був насправді гауссовим.

Оцінка стандартного відхилення розподілу вимагає вибору відстані.
Можна використовувати будь-яку з наступних відстаней:

$$d_n((X)_{i=1,\ldots,I},\mu)=\left(\sum | X-\mu|^n\right)^{1/n}$$

Зазвичай ми використовуємо природну евклідову відстань ( $n=2$$n=1$
Обидва є хорошими кандидатами, але вони різні.

$n=3$

Я не впевнений, що вам сподобається моя відповідь, моя думка всупереч іншим полягає в тому, щоб не демонструвати, що $n=2$

Це залежить від того, про що ви говорите, коли ви говорите "поширення даних". Для мене це може означати дві речі:

1. Ширина розподілу вибірки
2. Точність заданої оцінки

$E(|X-\mu|)$$E(X^2)$$E(|X|)$ для більшості дистрибутивів.

$D$$I$$\theta$

$$p(\theta\mid DI)=\frac{\exp\left(h(\theta)\right)}{\int \exp\left(h(t)\right)\,dt}\;\;\;\;\;\;h(\theta)\equiv\log[p(\theta\mid I)p(D\mid\theta I)]$$

$t$$\theta$$\theta_\max$

$$h(\theta)\approx h(\theta_\max)+(\theta_\max-\theta)h'(\theta_\max)+\frac{1}{2}(\theta_\max-\theta)^{2}h''(\theta_\max)$$

$\theta_\max$$h'(\theta_\max)=0$

$$h(\theta)\approx h(\theta_\max)+\frac{1}{2}(\theta_\max-\theta)^{2}h''(\theta_\max)$$

Якщо ми підключимо це наближення, отримаємо:

$$p(\theta\mid DI)\approx\frac{\exp\left(h(\theta_\max)+\frac{1}{2}(\theta_\max-\theta)^{2}h''(\theta_\max)\right)}{\int \exp\left(h(\theta_\max)+\frac{1}{2}(\theta_\max-t)^{2}h''(\theta_\max)\right)\,dt}$$

$$=\frac{\exp\left(\frac{1}{2}(\theta_\max-\theta)^{2}h''(\theta_\max)\right)}{\int \exp\left(\frac{1}{2}(\theta_\max-t)^{2}h''(\theta_\max)\right)\,dt}$$

$E(\theta\mid DI)\approx\theta_\max$

$$V(\theta\mid DI)\approx \left[-h''(\theta_\max)\right]^{-1}$$

$-h''(\theta_\max)$$\theta$$h''(\theta)_{jk}=\frac{\partial h(\theta)}{\partial \theta_j \, \partial \theta_k}$

$p(\theta\mid I)=1$$\theta$$\theta_\max$

$$p(\theta_\max\mid\theta)\approx N\left(\theta,\left[-h''(\theta_\max)\right]^{-1}\right)$$ (дивіться, чи можете ви здогадатися, якій парадигмі я віддаю перевагу: P). Отже, так чи інакше, в оцінці параметрів стандартне відхилення є важливою теоретичною мірою поширення.

"Чому квадратна різниця" замість "беручи абсолютне значення"? Щоб відповісти дуже точно, є література, яка наводить причини, за якими вона була прийнята, і те, чому більшість з цих причин не є справедливим. "Чи не можемо ми просто взяти абсолютне значення ...?". Мені відомо література, в якій відповідь "так", це робиться, і це робиться, вважається, вигідним.

Автор Горард стверджує, що спочатку використання квадратів було раніше прийнято з простоти обчислення, але, що ці первісні причини більше не мають значення. Горард заявляє, по-друге, що OLS був прийнятий тому, що Фішер встановив, що результати в зразках аналізів, які використовували OLS, мали менші відхилення, ніж ті, в яких використовувались абсолютні відмінності (грубо вказано). Таким чином, здається, що OLS може мати переваги в деяких ідеальних обставинах; однак, Горард зазначає, що існує певна консенсус (і він стверджує, що Фішер погодився), що в реальних умовах (недосконале вимірювання спостережень, нерівномірне розподіл, дослідження населення без висновку з вибірки) використання квадратів гірше, ніж абсолютні відмінності.

Відповідь Горарда на ваше запитання "Чи не можемо ми просто взяти абсолютне значення різниці замість цього і отримати очікуване значення (середнє значення)?" так. Ще одна перевага полягає в тому, що використання відмінностей виробляє заходи (міри помилок і варіацій), які пов'язані з тим, як ми переживаємо ці ідеї в житті. Горард каже, що уявіть собі людей, які рівномірно розподіляють рахунок за ресторан, і деякі можуть інтуїтивно помітити, що цей метод несправедливий. Ніхто там не виправить помилки; різниці - справа.

Нарешті, використовуючи абсолютні відмінності, він зазначає, що кожне спостереження ставиться однаково, тоді як, протиставляючи різницю різниць, спостереження прогнозуються набагато більшою вагою, ніж спостереження, добре прогнозовані, що наче дозволяє певні спостереження включати в дослідження кілька разів. Підсумовуючи, його загальна мета полягає в тому, що сьогодні існує не так багато виграшних причин для використання квадратів, і, навпаки, використання абсолютних відмінностей має переваги.

Список літератури:

• Горард, С. (2005). Перегляд дебатів 90 років: переваги середнього відхилення , Британський журнал освітніх досліджень, 53 , 4, с. 417-430.
• Горард, С. (2013). Можливі переваги середнього величини абсолютного відхилення «ефекту» , оновлення соціальних досліджень , 65: 1.

Тому що квадрати можуть дозволити використання багатьох інших математичних операцій або функцій легше, ніж абсолютні значення.

Приклад: квадрати можуть бути інтегровані, диференційовані, з легкістю можна використовувати тригонометричні, логарифмічні та інші функції.

При додаванні випадкових змінних додаються їх відхилення для всіх розподілів. Варіантність (і, отже, стандартне відхилення) є корисним показником майже для всіх розподілів і жодним чином не обмежується гауссовими (також «нормальними») розподілами. Це сприятливо використовувати його як міру помилки. Відсутність унікальності є серйозною проблемою з абсолютними відмінностями, оскільки часто існує нескінченна кількість «рівних примірників», але, очевидно, «той, що знаходиться посередині», найбільш реально сприятливий. Крім того, навіть у сучасних комп’ютерах важлива обчислювальна ефективність. Я працюю з великими наборами даних, і час процесора важливий. Однак не існує єдиної абсолютної "найкращої" міри залишків, на що вказували деякі попередні відповіді. Різні обставини іноді вимагають різних заходів.

Природно, ви можете описати дисперсію розподілу будь-яким змістом (абсолютне відхилення, квантили тощо).

Один приємний факт полягає в тому, що дисперсія є другим центральним моментом, і кожен розподіл унікально описується своїми моментами, якщо вони існують. Ще один приємний факт полягає в тому, що дисперсія набагато математичніше простежується, ніж будь-яка порівнянна метрика. Інший факт полягає в тому, що дисперсія є одним із двох параметрів нормального розподілу для звичайної параметризації, а нормальний розподіл має лише 2 ненульові центральні моменти, які є цими двома самими параметрами. Навіть для ненормативних розподілів може бути корисно думати в нормальних рамках.

Як я бачу, причина стандартного відхилення існує як така в тому, що в додатках регулярно з'являється квадратний корінь дисперсії (наприклад, для стандартизації випадкової змінної), що вимагало для цього назви.

Інший і, можливо, більш інтуїтивний підхід - це коли ви думаєте про лінійну регресію проти середньої регресії.

Припустимо, наша модель така $\mathbb{E}(y|x) = x\beta$. Тоді ми знаходимо b, мінімізуючи очікуваний залишок у квадраті,$\beta = \arg \min_b \mathbb{E} (y - x b)^2$.

Якщо замість цього наша модель є медіаною$(y|x) = x\beta$, то ми знаходимо наші параметри, мінімізуючи абсолютні залишки,$\beta = \arg \min_b \mathbb{E} |y - x b|$.

Іншими словами, використовувати абсолютну або квадратичну помилку, залежить від того, чи потрібно моделювати очікуване значення або середнє значення.

Якщо розподіл, наприклад, демонструє перекошену гетероседастичність, то велика різниця в тому, як нахил очікуваного значення $y$ зміни протягом $x$до того, як нахил відповідає середнім значенням$y$.

У Коенкера та Халлока є приємний твір про квантильну регресію, де середній регрес - особливий випадок: http://master272.com/finance/QR/QRJEP.pdf .

Моя здогадка така: Більшість популяцій (розподілів), як правило, збираються навколо середнього значення. Чим далі значення є від середнього, тим рідше воно. Для того, щоб адекватно виразити, наскільки значення "поза лінією", необхідно враховувати як його відстань від середньої, так і його (звичайно кажучи) рідкість зустрічальності. Вирівнювання різниці від середнього робить це порівняно зі значеннями, які мають менші відхилення. Після того, як всі дисперсії будуть усереднені, тоді добре взяти квадратний корінь, який повертає одиниці до їх початкових розмірів.

Квадратура посилює більші відхилення.

Якщо у вашій вибірці є значення, що знаходяться у всьому діаграмі, тоді для досягнення 68,2% у межах першого стандартного відхилення, ваше стандартне відхилення повинно бути трохи ширшим. Якщо ваші дані мають тенденцію до падіння середнього значення, то σ може бути жорсткішим.

Деякі кажуть, що це спростити обчислення. Використання позитивного кореня квадрата вирішило б це, щоб аргумент не плавав.

$|x| = \sqrt{x^{2}}$

Тож якби алгебраїчна простота була метою, то це виглядало б так:

$\sigma = \text{E}\left[\sqrt{(x-\mu)^{2}}\right]$ що дає ті самі результати, що і $\text{E}\left[|x-\mu|\right]$.

Очевидно, що квадрати це також має наслідком посилення зовнішніх помилок (так!).

Чому квадратна різниця замість того, щоб приймати абсолютне значення в стандартному відхиленні?

Розподіляємо різницю x на середню, оскільки евклідова відстань, пропорційна квадратному кореню ступенів свободи (кількість x, у мірі чисельності), є найкращим показником дисперсії.

Розрахунок відстані

Яка відстань від точки 0 до точки 5?

• $5-0 = 5$,
• $|0-5| = 5$, і
• $\sqrt{5^2} = 5$

Гаразд, це банально, тому що це єдиний вимір.

Як щодо відстані точки до точки 0, 0 до точки 3, 4?

Якщо ми можемо одночасно переходити лише в 1 вимір (наприклад, у міські квартали), тоді ми просто додаємо цифри. (Це іноді відоме як відстань на Манхеттені).

Але що робити в двох вимірах одночасно? Потім (за теоремою Піфагора, яку ми всі вивчали в середній школі), ми квадратуємо відстань у кожному вимірі, підсумовуємо квадрати, а потім беремо квадратний корінь, щоб знайти відстань від початку від точки.

$$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$

Як щодо відстані від точки в 0, 0, 0 до точки 1, 2, 2?

Це просто

$$\sqrt{1^2+2^2 + 2^2} = \sqrt9 = 3$$

оскільки відстань для перших двох x-х утворює ногу для обчислення загальної відстані з кінцевим x.

$$\sqrt{\sqrt{x_1^2 + x_2^2}^2 + x_3^2} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}$$

Ми можемо продовжувати розширювати правило розподілу відстані кожного виміру, це узагальнюється до того, що ми називаємо евклідовою дистанцією, для ортогональних вимірювань у гіпервимірному просторі, наприклад:

$$distance = \sqrt{ \sum_{i=1}^n{x_i^2} }$$

і тому сума ортогональних квадратів - це відстань у квадраті:

$$distance^2 = \sum_{i=1}^n{x_i^2}$$

Що робить ортогональне вимірювання (або під прямим кутом) іншого? Умова полягає в тому, що між двома вимірюваннями немає взаємозв'язку. Ми хотіли б, щоб ці вимірювання були незалежними та індивідуально розподіленими ( iid ).

Варіантність

Тепер пригадайте формулу дисперсії населення (від якої ми отримаємо стандартне відхилення):

$$\sigma^2 = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2} {n}$$

Якщо ми вже зосереджували дані на 0, віднімаючи середнє значення, ми маємо:

$$\sigma^2 = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2} {n}$$

Отже, ми бачимо, що дисперсія - це просто відстань у квадраті, поділене на кількість ступенів свободи (кількість вимірів, на які змінні можуть змінюватися). Це також середній внесок у$distance^2$за вимірювання. "Середня квадратична дисперсія" також була б відповідним терміном.

Стандартне відхилення

Тоді маємо стандартне відхилення, яке є просто квадратним коренем дисперсії:

$$\sigma = \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2} {n}}$$

Що еквівалентно відстані , поділеному на квадратний корінь ступенів свободи:

$$\sigma = \frac{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2}} {\sqrt{n}}$$

Середнє абсолютне відхилення

Середнє абсолютне відхилення (MAD) - це міра дисперсії, яка використовує відстань Манхеттена, або сума абсолютних значень відмінностей від середнього.

$$MAD = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_i - \mu|} {n}$$

Знову ж таки, припускаючи, що дані центрировані (середнє віднімання), відстань на Манхеттені ділиться на кількість вимірювань:

$$MAD = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_i|} {n}$$

Обговорення

• Середнє абсолютне відхилення становить приблизно .8 разів ( фактично$\sqrt{2/\pi}$) розмір стандартного відхилення для нормально розподіленого набору даних.
• Незалежно від розподілу, середнє абсолютне відхилення менше або дорівнює стандартному відхиленню. MAD занижує розсіювання набору даних із екстремальними значеннями щодо стандартного відхилення.
• Середнє абсолютне відхилення є більш надійним для людей, що втрачають повсякденне життя (тобто, люди, що втрачають повсякденність, не мають настільки сильного впливу на статистику, як на стандартне відхилення.
• Геометрично кажучи, якщо вимірювання не є ортогональними один до одного (наприклад, якщо вони були позитивно корельованими, середнє абсолютне відхилення було б кращою описовою статистикою, ніж стандартне відхилення, яке спирається на евклідову відстань (хоча це зазвичай вважається нормальним) ).

Ця таблиця відображає вищезазначену інформацію більш стисло:

$$\begin{array}{lll} & MAD & \sigma \\ \hline size & \le \sigma & \ge MAD \\ size, \sim N & .8 \times \sigma & 1.25 \times MAD \\ outliers & robust & influenced \\ not\ i.i.d. & robust & ok \end{array}$$

Коментарі:

Чи є у вас посилання на "середнє абсолютне відхилення приблизно в .8 разів перевищує розмір стандартного відхилення для нормально розподіленого набору даних"? Моделювання, які я виконую, показують, що це неправильно.

Ось 10 моделювання одного мільйона зразків із стандартного нормального розподілу:

>>> from numpy.random import standard_normal
>>> from numpy import mean, absolute
>>> for _ in range(10):
...     array = standard_normal(1_000_000)
...     print(numpy.std(array), mean(absolute(array - mean(array))))
... 
0.9999303226807994 0.7980634269273035
1.001126461808081 0.7985832977798981
0.9994247275533893 0.7980171649802613
0.9994142105335478 0.7972367136320848
1.0001188211817726 0.798021564315937
1.000442654481297 0.7981845236910842
1.0001537518728232 0.7975554993742403
1.0002838369191982 0.798143108250063
0.9999060114455384 0.797895284109523
1.0004871065680165 0.798726062813422

Висновок

Ми вважаємо за краще квадратичні різниці при обчисленні міри дисперсії, оскільки ми можемо використовувати евклідову відстань, що дає нам кращу описову статистику дисперсії. Коли є більш відносні екстремальні величини, евклідова відстань враховує це в статистиці, тоді як відстань на Манхеттені дає кожному виміру рівну вагу.