Доказ стаціонарності АР (2)

Розглянемо середньоцентричний процес AR (2)

X_{t} = ϕ_{1} X_{t - 1} + ϕ_{2} X_{t - 2} + ϵ_{t}

$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\epsilon_t$ де

ϵ_{t}

$\epsilon_t$ - стандартний процес білого шуму. Просто для простоти дозвольте мені називати

ϕ_{1} = b

$\phi_1=b$ і

ϕ_{2} = a

$\phi_{2}=a$ . Орієнтуючись на корені рівняння характеристик, я отримав

z_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} + 4 a}}{2 a}

$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4a}}{2a}$ Класичні умови в підручниках такі:

{\begin{cases} | a | < 1 \\ a \pm b < 1 \end{cases}

$\begin{cases}|a|<1 \\ a\pm b<1 \end{cases}$ Я намагався вирішити вручну (за допомогою Mathematica) нерівності коренів, тобто систему

{\begin{cases} | \frac{- b - \sqrt{b^{2} + 4 a}}{2 a} | > 1 \\ | \frac{- b + \sqrt{b^{2} + 4 a}}{2 a} | > 1 \end{cases}

$\begin{cases}|\frac{-b-\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1 \\ |\frac{-b+\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1\end{cases}$ отримання тільки

a \pm b < 1

$a \pm b<1$ Може третя умова (

| a | < 1

$|a|<1$ ) можна відновитидодавши попередні два рішення одинодним отримувати

що через кілька міркувань знак стає

? Або я пропускаю рішення?

a + b + a - b < 2 \Rightarrow a < 1

$a+b+a-b<2 \Rightarrow a<1$

| a | < 1

$|a|<1$

self-study stationarity arma

— Марко
джерело

Я здогадуюсь, що характерне рівняння, від якого ви відходите, відрізняється від мого. Дозвольте мені пройти кілька кроків, щоб побачити, чи ми згодні.

Розглянемо рівняння

λ^{2} - ϕ_{1} λ - ϕ_{2} = 0

$\lambda^2-\phi_1\lambda-\phi_2=0$

Якщо $z$ є коренем "стандартного" характерного рівняння $1-\phi_1 z-\phi_2 z^2=0$ і задає $z^{-1}=\lambda$ , дисплей отримує від переписання стандартного таким чином:

\begin{array}{rcl} 1 - ϕ_{1} z - ϕ_{2} z^{2} & = & 0 \\ \Rightarrow z^{- 2} - ϕ_{1} z^{- 1} - ϕ_{2} & = & 0 \\ \Rightarrow λ^{2} - ϕ_{1} λ - ϕ_{2} & = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray*} 1-\phi_1 z-\phi_2 z^2&=&0\\ \Rightarrow z^{-2}-\phi_1 z^{-1}-\phi_2 &=&0\\ \Rightarrow \lambda^2-\phi_1\lambda -\phi_2 &=&0 \end{eqnarray*}$ Отже, альтернативною умовою стабільності

A R (2)

$AR(2)$ є те, що всі корені першого дисплея знаходятьсявсерединіодиничного кола,

| z | > 1 \Leftrightarrow | λ | = | z^{- 1} | < 1

$|z|>1 \Leftrightarrow |\lambda|=|z^{-1}|<1$ .

Ми використовуємо це подання для отримання трикутника стаціонарності процесу $AR(2)$ , тобто $AR(2)$ стабільний, якщо виконуються наступні три умови:

$\phi_2<1+\phi_1$
$\phi_2<1-\phi_1$
$\phi_2>-1$

Нагадаємо, що ви можете записати корені першого дисплея (якщо вони справжні) як

λ_{1, 2} = \frac{ϕ_{1} \pm \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}}}{2}

$\lambda_{1,2}=\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}$ щоб знайти перші дві умови.

Тоді $AR(2)$ є нерухомим iff $|\lambda|<1$ , отже (якщо $\lambda_i$ справжній):

\begin{array}{rcl} - 1 < \frac{ϕ_{1} \pm \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}}}{2} & < & 1 \\ \Rightarrow - 2 < ϕ_{1} \pm \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} & < & 2 \end{array}

$\begin{eqnarray*} -1<\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}&<&1\\ \Rightarrow -2<\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 \end{eqnarray*}$

λ_{i}

$\lambda_i$

ϕ_{1} + \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} < 2

$\phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}<2$

\begin{array}{rcl} ϕ_{1} + \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} & < & 2 \\ \Rightarrow \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} & < & 2 - ϕ_{1} \\ \Rightarrow ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2} & < & (2 - ϕ_{1})^{2} \\ \Rightarrow ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2} & < & 4 - 4 ϕ_{1} + ϕ_{1}^{2} \\ \Rightarrow ϕ_{2} & < & 1 - ϕ_{1} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2\\ \Rightarrow \sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 - \phi_1\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&(2 - \phi_1)^2\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&4 - 4\phi_1+\phi_1^2\\ \Rightarrow \phi_2&<&1 - \phi_1 \end{eqnarray*}$ Analogously, we find that

ϕ_{2} < 1 + ϕ_{1}

$\phi_2<1 + \phi_1$ .

If $\lambda_i$ is complex, then $\phi_1^2<-4\phi_2$ and so

λ_{1, 2} = ϕ_{1} / 2 \pm i \sqrt{- (ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2})} / 2.

$\lambda_{1,2} = \phi_1/2\pm i\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2.$ The squared modulus of a complex number is the square of the real plus the square of the imaginary part. Hence,

λ^{2} = (ϕ_{1} / 2)^{2} + {(\sqrt{- (ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2})} / 2)}^{2} = ϕ_{1}^{2} / 4 - (ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}) / 4 = - ϕ_{2} .

$\lambda^2 = (\phi_1/2)^2 + \left(\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2\right)^2 = \phi_1^2/4-(\phi_1^2+4\phi_2)/4 = -\phi_2.$ This is stable if

| λ | < 1

$|\lambda|<1$ , hence if

- ϕ_{2} < 1

$-\phi_2<1$ or

ϕ_{2} > - 1

$\phi_2>-1$ , as was to be shown. (The restriction

ϕ_{2} < 1

$\phi_2<1$ resulting from

ϕ_{2}^{2} < 1

$\phi_2^2<1$ is redundant in view of

ϕ_{2} < 1 + ϕ_{1}

$\phi_2<1+\phi_1$ and

ϕ_{2} < 1 - ϕ_{1}

$\phi_2<1-\phi_1$ .)

Plotting the stationarity triangle, also indicating the line that separates complex from real roots, we get

enter image description here

Produced in R using

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)

— Christoph Hanck
джерело

this is a very detailed explanation.

— Marco

@Christoph: Is there a typo in the answer? Look at equation for

λ^{2}

$\lambda^2$ . Also, what do you mean by square of a complex number? If

z = a + b i

$z = a + bi$ then

z^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 i a b

$z^2 = a^2 - b^2 + 2iab$ . How do you say square of a complex number is "square of the real plus the square of the imaginary part"

— shani

Thanks, quite right! I was referring to the sqaured modulus, see the edit.

— Christoph Hanck

@ChristophHanck, what is your take on Aksakal's answers in these two threads: 1 and 2? Are they in conflict with your answer, and if so, what is the correct answer?

— Richard Hardy

I think he is quite right when defining weak stationarity as constancy of the first two moments. Often, and also in the present thread, "stationarity" and "existence of a causal representation", i.e., a summable

M A (\infty)

$MA(\infty)$ representation without dependence on the future, are conflated. What my answer therefore more precisely shows is conditions for the existence of the latter.

— Крістоф Ганк