Якщо часовий ряд є стаціонарним у другому порядку, чи означає це, що він є суворо нерухомим?

Процес є строго стаціонарним , якщо спільний розподіл - те саме, що спільний розподіл для всіх , для всіх і для всіх . $X_t$ $X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_m}$ $X_{t_1+k},X_{t_2+k},...,X_{t_m+k}$ $m$ $k$ $t_1,t_2,...,t_m$

Процес стаціонарного другого порядку, якщо його середнє значення постійне, а його функція автоковаріації залежить лише від відставання.

Тому стаціонар другого порядку має на увазі сувору нерухомість?

Також в стаціонарному порядку другого порядку йдеться про те, що жодних припущень щодо більш високих моментів, ніж у першому та другому порядку, не робиться. Перший момент відповідає середньому, чи відповідає другий момент автоковаріації?

— кларсон
джерело

Дивіться також цей пост для пов’язаної дискусії.

— javlacalle

Те, що ви називаєте (або курсові дзвінки), стаціонар другого порядку, часто називають слабко стаціонарним або стаціонарним з широким сенсом (WSS) або нерухомим у широкому сенсі. Процеси WSS не обов'язково суворо стаціонарні, оскільки середнє значення та автоковаріація, як правило, недостатньо для визначення розподілу. Звичайно, ВКГ гаусовим або нормальний процес (тобто всіх

є нормальними випадковими величинами) є строго стаціонарним , так як середнє значення і ковариационной матриці визначають спільний розподіл.

X_{t}

$X_t$

— Діліп Сарват

Див. Також Приклад процесу, який є стаціонарним, але не суворо стаціонарним . Два дуже близькі до дублікатів. Це питання також задає питання про те, чи відноситься другий момент до автоковаріації, але це справді підпитання і в будь-якому випадку обробляється на потоці Що таке стаціонарний процес другого порядку?

— Срібна рибка

mathoverflow.net/questions/42141/…

— Robby McKilliam

Стаціонарність другого порядку слабша, ніж сувора стаціонарність. Стаціонарність другого порядку вимагає, щоб моменти першого і другого порядку (середні, дисперсії та коваріації) були постійними протягом усього часу і, отже, не залежали від часу, в який спостерігається процес. Зокрема, як ви кажете, коваріація залежить лише від порядку відставання, , але не від часу, в який вона вимірюється, для всіх $k$ $Cov(x_t, x_{t-k}) = Cov(x_{t+h}, x_{t+h-k})$ . $t$

У строгому процесі стаціонарності, моменти всіх порядків залишаються постійними в протягом часу, тобто, як ви говорите, спільний розподіл - те саме, що спільний розподіл для всіх $X_{t1},X_{t2},...,X_{tm}$ $X_{t1+k}+X_{t2+k}+...+X_{tm+k}$ і . $t1,t2,...,tm$ $k$

Отже, сувора стаціонарність передбачає стаціонарність другого порядку, але навпаки не відповідає дійсності.

Редагувати (відредаговано як відповідь на коментар @ whuber)

Попереднє твердження - це загальне розуміння слабкої та сильної стаціонарності. Хоча думка про те, що стаціонарність у слабкому сенсі не передбачає стаціонарності в більш сильному сенсі, може погодитися з інтуїцією, вона може бути не настільки простою для доказування, на що вказував Уубер у коментарі нижче. Це може бути корисно проілюструвати ідею, запропоновану в цьому коментарі.

Як ми могли б визначити процес, який є стаціонарним другого порядку (середня, дисперсія та коваріаційна константа протягом усього часу), але він не є стаціонарним у строгому розумінні (моменти вищого порядку залежать від часу)?

Як запропонував @whuber (якщо я правильно зрозумів), ми можемо об'єднати групи спостережень, що надходять із різних розподілів. Нам просто слід бути обережними, що ці розподіли мають однакове середнє значення та відмінність (на даний момент давайте розглянемо, що вони відібрані незалежно один від одного). З одного боку, ми можемо, наприклад, генерувати спостереження з розподілу Стьюдента з ступенями свободи. Середнє дорівнює нулю , а дисперсія . З іншого боку, ми можемо взяти гауссово розподіл з нульовим середнім і дисперсією . $t$ $5$ $5/(5-2)=5/3$ $5/3$

Обидва розподілу одні і ті ж середнє значення (нуль) і дисперсію ( ). Таким чином, конкатенація випадкових значень з цього розподілу буде, принаймні, другого порядку нерухомою. Однак куртоз у тих точках, якими керується розподіл Гаусса, буде , тоді як у ті моменти часу, коли дані надходять із розподілу Стьюдента, це буде . Тому дані, що генеруються таким чином, не є нерухомими в суворому розумінні, оскільки моменти четвертого порядку не є постійними. $5/3$ $3$ $t$ $3+6/(5-4)=9$

Коваріації також постійні і дорівнюють нулю, оскільки ми розглядали незалежні спостереження. Це може здатися тривіальним, тому ми можемо створити деяку залежність серед спостережень відповідно до наступної авторегресивної моделі.

у_{т} = ϕ у_{т - 1} + ϵ_{т}, | ϕ | < 1, т = 1, 2, . . ., 120

$y_t = \phi y_{t-1} + \epsilon_t \,, \quad |\phi| < 1 \,, \quad t = 1,2,...,120$

\begin{array}{rcl} ϵ_{т} \sim {\begin{cases} N (0, σ^{2} = 5 / 3) & якщо т \in [0, 20], [41, 60], [81, 100] \\ т_{5} & якщо т \in [21, 40], [61, 80], [101, 120] . \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray} \epsilon_t \sim \left\{ \begin{array}{ll} N(0, \sigma^2=5/3) \quad & \hbox{if} \; t \in [0,20], [41,60], [81,100] \\ t_5 \quad & \hbox{if} \; t \in [21,40], [61,80], [101,120] \,. \end{array} \right. \end{eqnarray}$

забезпечує стаціонарність другого порядку. $|\phi| < 1$

Ми можемо змоделювати деякі з цих серій у програмному забезпеченні R та перевірити, чи середнє значення, дисперсія, коваріація та куртоз першого зразка залишаються постійними для партій із спостережень (у коді нижче використовується а розмір вибірки , малюнок відображається один із модельованих серій): $20$ $\phi=0.8$ $n=240$

# this function is required below
kurtosis <- function(x)
{
  n <- length(x)
  m1 <- sum(x)/n
  m2 <- sum((x - m1)^2)/n
  m3 <- sum((x - m1)^3)/n
  m4 <- sum((x - m1)^4)/n
  b1 <- (m3/m2^(3/2))^2
  (m4/m2^2)
}
# begin simulation
set.seed(123)
n <- 240
Mmeans <- Mvars <- Mcovs <- Mkurts <- matrix(nrow = 1000, ncol = n/20)
for (i in seq(nrow(Mmeans)))
{
  eps1 <- rnorm(n = n/2, sd = sqrt(5/3))
  eps2 <- rt(n = n/2, df = 5)
  eps <- c(eps1[1:20], eps2[1:20], eps1[21:40], eps2[21:40], eps1[41:60], eps2[41:60], 
    eps1[61:80], eps2[61:80], eps1[81:100], eps2[81:100], eps1[101:120], eps2[101:120])
  y <- arima.sim(n = n, model = list(order = c(1,0,0), ar = 0.8), innov = eps)

  ly <- split(y, gl(n/20, 20))
  Mmeans[i,] <- unlist(lapply(ly, mean))
  Mvars[i,] <- unlist(lapply(ly, var))
  Mcovs[i,] <- unlist(lapply(ly, function(x) 
    acf(x, lag.max = 1, type = "cov", plot = FALSE)$acf[2,,1]))
  Mkurts[i,] <- unlist(lapply(ly, kurtosis))
}

Результати не такі, які я очікував:

round(colMeans(Mmeans), 4)
#  [1]  0.0549 -0.0102 -0.0077 -0.0624 -0.0355 -0.0120  0.0191  0.0094 -0.0384
# [10]  0.0390 -0.0056 -0.0236
round(colMeans(Mvars), 4)
#  [1] 3.0430 3.0769 3.1963 3.1102 3.1551 3.2853 3.1344 3.2351 3.2053 3.1714
# [11] 3.1115 3.2148
round(colMeans(Mcovs), 4)
#  [1] 1.8417 1.8675 1.9571 1.8940 1.9175 2.0123 1.8905 1.9863 1.9653 1.9313
# [11] 1.8820 1.9491
round(colMeans(Mkurts), 4)
#  [1] 2.4603 2.5800 2.4576 2.5927 2.5048 2.6269 2.5251 2.5340 2.4762 2.5731
# [11] 2.5001 2.6279

$t$ $20$

— javlacalle
джерело

Хоча ви праві, ви не продемонстрували належним чином остаточний висновок. (Ви, здається, вважаєте, що вищі моменти стаціонарного процесу другого порядку можна прописати незалежно від перших двох його моментів, але це - хоча частково істинно - не очевидно.) Найсильнішим способом продемонструвати свій висновок був би демонструвати процес, який є стаціонарним, але не є стаціонарним. Хоча це легко зробити за допомогою відповідної послідовності незалежних випадкових змінних, було б цікаво навести приклад з не зникаючими кореляціями на всіх відставаннях.

— whuber

@whuber Я відредагував свою відповідь. Я думав, що зрозумів вашу думку, але моя спроба слідувати вашій ідеї виявилася не зовсім задовільною.

— javlacalle

U_{i}, i = 0, 1

$U_i,i=0,1$

p \neq 1 / 2

$p\ne 1/2$

1 - p

$1-p$

(X_{i})

$(X_i)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

Y_{i} = U_{[i]} - p_{[i]} + X_{i}

$Y_i=U_{[i]}-p_{[i]}+X_i$

[i] = 0

$[i]=0$

i

$i$

[i] = 1

$[i]=1$ Rn <- 300; p <- 1/4; x <- rnorm(n, (rbinom(2,1,c(p,1-p))-c(p,1-p)), 1/8)

Я б не наказував суворої стаціонарності та коваріантності-стаціонарності (хоча використання терміну "слабкий" також для останнього, на жаль, вказує на таке впорядкування). Причина полягає в тому, що сувора стаціонарність не передбачає коваріації-стаціонарності: процес може бути строго стаціонарним, але моменти розповсюдження можуть не існувати або бути нескінченними, і в цьому випадку цей строго стаціонарний процес не є коваріаційно-стаціонарним.

— Алекос Пападопулос

Ми не можемо безпосередньо імітувати відсутність моментів . Створіть Коші строго стаціонарний процес, щоб взяти тривіальний приклад. Графік буде виглядати ідеально "нерухомим", тому що поведінка процесу повторюється, поведінка, яка залежить від моментів лише тоді, коли вони існують . Якщо їх не існує, то поведінка описується і залежить від інших характеристик розподілу.

— Алекос Пападопулос

Оскільки я не можу коментувати, і у мене є вагомий застереження до відповіді @javlacalle , я змушений включити це окрема відповідь:

@javlacalle написав це

сувора стаціонарність передбачає стаціонарність другого порядку, але навпаки не відповідає дійсності.

Однак сильна стаціонарність не означає слабкої стаціонарності. Причина полягає в тому, що сильна стаціонарність не означає, що процес обов'язково має кінцевий другий момент. Наприклад, процес iid із стандартним розподілом Коші суворо стаціонарний, але не має кінцевого другого моменту. Дійсно, наявність кінцевого другого моменту є необхідною і достатньою умовою слабкої стаціонарності сильно нерухомого процесу.

Довідка: Майєрс, DE, 1989. Бути чи не бути. . . стаціонарний? Це питання. Математика. Геол. 21, 347–362.

— ShayPal5
джерело