Як застосувати теорему Байєса до пошуку рибалки, загубленого в морі

19

Стаття «Коефіцієнти, які постійно оновлюються» згадується історія рибалки на Лонг-Айленді, який буквально завдячує своїм життям Байєсовій статистиці. Ось коротка версія:

На човні посеред ночі стоять два рибалки. Поки один спить, інший падає в океан. Човен продовжує тролею на автопілоті всю ніч, поки перший хлопець нарешті не прокинеться і не сповістить берегову охорону. Берегова охорона використовує програмне забезпечення під назвою SAROPS (Система оптимального планування пошуку та порятунку), щоб знайти його вчасно, оскільки він був гіпотермічним і майже не мав енергії, щоб залишитися на плаву.

Ось довга версія: Speck In The Sea

Я хотів дізнатися більше про те, як насправді застосовується теорема Байєса. Я дізнався зовсім небагато про програмне забезпечення SAROPS просто за допомогою Google.

Симулятор SAROPS

Компонент симулятора враховує своєчасні дані, такі як океанічний струм, вітер тощо та імітує тисячі можливих шляхів дрейфу. З цих шляхів дрейфу створюється карта розподілу ймовірностей.

Зауважте, що наступна графіка не стосується випадку зниклого рибалки, про якого я згадав вище, але є прикладом іграшки, взятого з цієї презентації

Карта ймовірності 1 (червоний колір позначає найбільшу ймовірність; синій - найнижчий) введіть тут опис зображення

Зверніть увагу на коло, яке є початковим місцем.

Карта ймовірностей 2 - більше часу минуло введіть тут опис зображення

Зверніть увагу, що карта ймовірностей стала мультимодальною. Це тому, що в цьому прикладі враховується кілька сценаріїв:

Людина плаває у воді - режим «зверху-середній»
Людина перебуває на рятувальному плоті (більше потерпає від вітру з Півночі) - 2 режими знизу (роздвоєне через "ефектів кочення")

Карта ймовірності 3 - Пошук проводився по прямокутних доріжках червоним кольором введіть тут опис зображення Це зображення показує оптимальні шляхи, створені планувальником (інший компонент SAROPS). Як ви бачите, ці шляхи шукали, а імітаційна карта оновлювала карту ймовірностей.

Вам може бути цікаво, чому обшукові ділянки не були зведені до нульової ймовірності. Це тому, що є ймовірність виходу з ладу, $p(\text{fail})$ , врахована, тобто є незначний шанс, що шукач не помітить людину у воді. Зрозуміло, що ймовірність невдачі набагато вища для самотньої людини на плаву, ніж для людини на рятувальній плоті (легше це помітити), тому ймовірності у верхній області не дуже знизилися.

Наслідки невдалого пошуку

Тут грає теорема Байєса. Після того, як проводиться пошук, карта ймовірностей оновлюється відповідно, щоб інший пошук можна було запланувати оптимально.

Переглянувши теорему Байєса у Вікіпедії та у статті Інтуїтивне (та коротке) пояснення теорії Байєса на BetterExplained.com

Я взяв рівняння Байєса:

P (A ∣ X) = \frac{P (X ∣ A) \times P (A)}{P (X)}

$P(\text{A}\mid\text{X}) = \frac{P(\text{X}\mid\text{A}) \times P(\text{A})}{P(\text{X})}$

І визначили A і X так:

Подія A: людина знаходиться в цій області (сітка комірки)
Тест X: Невдалий пошук по цій області (комірка сітки), тобто пошукав цю область і нічого не бачив

Поступаючись,

P (person there ∣ unsuccessful) = \frac{P (unsuccessful ∣ person there) \times P (person there)}{P (unsuccessful)}

$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{unsuccessful}\mid\text{person there}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$

$P(\text{fail})$ $P(\text{fail})$

Отже, тепер ми маємо,

P (person there ∣ unsuccessful) = \frac{P (fail) \times P (person there)}{P (unsuccessful)}

$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{fail}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$

Чи правильно тут застосовується рівняння Байєса?
Як би розраховувався знаменник, ймовірність невдалого пошуку?

Також в системі оптимального планування пошуку та порятунку , кажуть вони

Попередні ймовірності "нормалізуються звичайним байєсівським способом" для отримання задньої ймовірності
Що "нормалізується нормальним байєсівським способом" ?

$P(\text{unsuccessful})$ або просто просто нормалізуються, щоб уся мапа вірогідності склала одну? Або це одне й те саме?
$P(\text{person there})$ $P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful})$

Ще одна примітка щодо спрощення - відповідно до Системи оптимального планування пошуку та порятунку, задній розподіл фактично обчислюється шляхом оновлення ймовірностей імітованих шляхів дрейфу, а потім повторного генерування сітчастої карти ймовірностей. Щоб зробити цей приклад досить простим, я вирішив ігнорувати сим-контури та зосередитись на осередках сітки.

— молой
джерело

6

Якщо припустити незалежність між сітками сітки, то так, здається, теорема Байєса була правильно застосована.
$P (X) = P (X | A) P (A) + P (X | A^{c}) P (A^{c})$ $P(X) = P(X|A)P(A) + P(X|A^c)P(A^c)$ $A^c$ $A$ $P(X|A^c)=1$ .
$P(A|X)$ $P (A | X) \propto P (X | A) P (A) P (A^{c} | X), \propto P (X | A^{c}) P (A^{c}), and P (A | X) + P (A^{c} | X) = 1$ $P(A|X) \propto P(X|A)P(A)\quad P(A^c|X), \propto P(X|A^c)P(A^c), \mbox{ and } P(A|X)+P(A^c|X) = 1$ $P(X)$
$i$ $A_i$ $i$ $X_i$ $i$ $X$
- $\sum_i P(A_i|X)=1$
- $P(A_i|X) = P(A_i|X_i)\propto P(X_i|A_i)P(A_i)$ $P(A_i|X) \propto P(A_i)$ $P(A_i|X)$
$P(A_i|X)$

— jaradniemi
джерело

\sum_{i} P (A_{i} | X) = 1

$\sum_{i}P(A_i|X)=1$

P (X | A) P (A)

$P(X|A)P(A)$

\sum_{i} P (X | A) P (A_{i})

$\sum_{i}P(X|A)P(A_i)$

Я просто зрозумів, що пошук кожної комірки з фіксованою ймовірністю невдачі призведе до абсолютно ніякої зміни серед розподілу ймовірностей :)

— mlai

P (X | A) P (A_{i})

$P(X|A)P(A_i)$

P (A_{i})

$P(A_i)$

4

Мене вказали на книгу, в якій є ціла глава, присвячена моєму питанню - Аналіз військово-морських операцій - колишнім професором, який раніше був пілотом вертольота і фактично виконував пошуково-рятувальні завдання, не менше!

У розділі 8 наведено приклад приблизно такого (я його трохи налаштував):

Для початку існує попередньо розподілений попередній розподіл щодо місця зниклої особи (осіб), човна тощо.

Попередній розподіл:

Пошук проводиться на частині сітки, імовірності оновлюються нормалізованим заднім розподілом , застосовуючи рівняння Байєса так само, як я згадував у своїх питаннях:

P (target in (i,j) ∣ no detection) = \frac{P (no detection ∣ target in (i,j)) \times P (target in (i,j))}{P (no detection)}

$P(\text{target in (i,j)}\mid\text{no detection}) = \frac{P(\text{no detection}\mid\text{target in (i,j)}) \times P(\text{target in (i,j)})}{P(\text{no detection})}$

де (i, j) = (лат, довгий)

У цьому випадку я вирішив шукати колонку 3, оскільки цей стовпець мав найбільшу загальну кількість раніше ймовірність.

Нормалізований задній розподіл після пошуку третього стовпця w / pFail = 0,2:

Моє запитання було головним чином про те, як нормалізувався задній простір. Ось як це було зроблено в книзі - просто розділіть кожну окрему задню ймовірність на загальну суму , S :

Опис зображення

Я вибрав 0,2 ймовірності невдалого пошуку, оскільки мій професор мав це сказати: "Ми шукаємо лише до 80% -ної ймовірності виявлення, оскільки це, як правило, найкращий компроміс між своєчасністю та точністю".

Тільки для ударів я запустив ще один приклад з pFail 0,5. Тоді як у першому прикладі ( pFail = 0,2) наступний найкращий маршрут пошуку (з огляду на нормалізований задній та припускаючи прямолінійний пошук, без діагоналі чи зигзагу) повинен пролетіти над стовпцем 2, у другому прикладі ( pFail = 0,5) наступний найкращий маршрут - рядок .

Нормалізований задній розподіл після пошуку третього стовпчика w / pFail = 0,5: eNormalized задній розподіл (з / ймовірність відмови = 0,5)

введіть тут опис зображення

Він також додав це: "Літаки несуть із собою невеликий контрольний список, щоб допомогти визначити найкращу висоту та швидкість руху повітря. Робота над цим літаючим вертольотом - це як сидіти на пральній машині, читати книгу, яка проклеєна до іншого пральної машини".

— молой
джерело