Я намагався моделювати ін'єкцію випадкових точок всередині кола, щоб будь-яка частина кола мала однакову ймовірність виникнення дефекту. Я очікував, що підрахунок на площу отриманого розподілу слід за розподілом Пуассона, якщо я розбиваю коло на прямокутники рівних площ.

Оскільки для цього потрібно лише розмістити точки в межах кругової області, я ввів два рівномірні випадкові розподіли в полярних координатах: $R$ (радіус) і $\theta$ (полярний кут).

Але зробивши цю ін’єкцію, я чітко отримую більше очок у центрі кола порівняно з ребром.

Який був би правильний спосіб виконати цю ін’єкцію по колу, щоб точки були випадковим чином розподілені по колу?

Ви хочете, щоб пропорція балів була рівномірна пропорції площі, а не відстані до початку. Оскільки площа пропорційна відстані у квадраті, генеруйте однакові випадкові радіуси та приймайте їхні квадратні корені. Поєднайте це з рівномірним полярним кутом.

Це швидко і просто в коді, ефективне у виконанні (особливо на паралельній платформі) і створює точно встановлену кількість балів.

Приклад

Це робочий Rкод для ілюстрації алгоритму.

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

Відбір проб може бути використаний. Це означає, що ми можемо взяти вибірку з двовимірного рівномірного розподілу та відібрати зразки, які відповідають умовам диска.

Ось приклад.

x=runif(1e4,-1,1)
y=runif(1e4,-1,1)

d=data.frame(x=x,y=y)
disc_sample=d[d$x^2+d$y^2<1,]
plot(disc_sample)

Я дам вам загальну n-мірну відповідь, яка працює і для двовимірного випадку, звичайно. У трьох вимірах аналогом диска є об'єм твердої кулі (сфери).

Є два підходи, які я збираюся обговорити. Один з них я назвав би "точним" , і ви отримаєте повне рішення з ним в Р. Другий, який я називаю евристичним , і це лише ідея, не передбачено повного рішення.

«Точне» рішення

Моє рішення засноване на творах Марсаглії та Мюллера . В основному це буває так, що нормалізований до його норми гауссовський вектор дав би вам рівномірно розподілені точки на двовимірній гіперсфері:

$d$$1/d$

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
# d - # of dimensions of hyperdisk
d = 2
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)
plot(x[,1], x[,2], pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

Ось фрагмент коду для 3d-корпусу, тобто суцільного кулі:

library(scatterplot3d)
n <- 1e3
# d - # of dimensions of hyperdisk

d=3
rho <- (runif(n))^(1/d)
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)

scatterplot3d(x[,1], x[,2], x[,3])

Евристичний підхід

$\sum_{i=1}^d x_i^2<R^2$

$\frac 1 {\sqrt{d+2}}$

Ось альтернативне рішення в R:

n <- 1e4
## r <- seq(0, 1, by=1/1000)
r <- runif(n)
rho <- sample(r, size=n, replace=T, prob=r)
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")