Очікувана кількість чітких кольорів при малюванні без заміни

Розглянемо урну, що містить $N$ кульок $P$ різних кольорів, при цьому $p_i$ - частка кульок кольору $i$ серед $N$ кульок ( $\sum_i p_i = 1$ ). Я малюю кульок з урни без заміни і дивлюся на кількість різних кольорів серед кульок, які були намальовані. Яке очікування як функції залежно від відповідних властивостей розподілу ? $n \leq N$ $\gamma$ $\gamma$ $n/N$ $\mathbf{p}$

Щоб дати більше розуміння: якщо і для всіх , я завжди буду бачити саме кольорів, тобто . В іншому випадку, можна показати , що очікування - IS . Для фіксованих і здається, що коефіцієнт, на який помножити був би максимальним, коли рівномірний; можливо, очікувана кількість різних кольорів, які можна побачити, обмежена як функція і, наприклад, ентропія ? $N = P$ $p_i = 1/P$ $i$ $n$ $\gamma = P (n/N)$ $\gamma$ $>P(n/N)$ $P$ $N$ $n/N$ $\mathbf{p}$ $n/N$ $\mathbf{p}$

Це, мабуть, пов'язане з проблемою збирача купонів, за винятком того, що відбір проб проводиться без заміни, а розподіл талонів не є рівномірним.

probability expected-value coupon-collector-problem

— a3nm
джерело

Я думаю, що цю проблему можна констатувати так: яка очікувана кількість ненульових записів у вибірці з багатовимірного гіпергеометричного розподілу ?

— Кодіолог

Припустимо , у вас є квітів , де . Нехай позначаю число куль кольору так . Нехай , і нехай фіксувати безлічі, що складаються з елементних підмножин . Нехай позначає кількість способів вибору $k$ $k \leq N$ $b_i$ $i$ $\sum b_i = N$ $B = \{b_1, \ldots, b_k\}$ $E_i(B)$ $i$ $B$ $Q_{n, c}$ $n$ елементів із наведеного набору таким чином, що кількість різних кольорів у вибраному наборі дорівнює . Для формула проста: $c$ $c = 1$

Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n})

$Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n}$

Для ми можемо порахувати набори кульок розміром який має максимум 2 кольори мінус кількість наборів, які мають рівно колір: $c = 2$ $n$ $1$

Q_{n, 2} = \sum_{E \in E_{2} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n}) - (\binom{k - 1}{1}) Q_{n, 1}

$Q_{n,2} = \sum_{E \in E_{2}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \binom{k - 1}{1}Q_{n, 1}$

- це кількість способів додати колір до фіксованого кольору таким чином, що у вас буде 2 кольори, якщо у вас єкольорів. Загальна формула полягає в тому, якщо у вас єфіксованих кольорів і ви хочете зробитикольори, тоді як у вас єкольорів загалом () є $\binom{k - 1}{1}$ $k$ $c_1$ $c_2$ $k$ $c_1 \leq c_2 \leq k$ . Тепер у нас є все, щоб отримати загальну формулу для: $\binom{k - c_1}{c_2 - c_1}$ $Q_{n, c}$

Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n}) - \sum_{i = 1}^{c - 1} (\binom{k - i}{c - i}) Q_{n, i}

$Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \sum_{i = 1}^{c - 1}\binom{k - i}{c - i}Q_{n, i}$

Ймовірність того, що у вас будуть точно кольори, якщо ви намалюєте кульок, це: $c$ $n$

P_{n, c} = Q_{n, c} / (\binom{N}{n})

$P_{n, c} = Q_{n, c} / \binom{N}{n}$

Також зауважте, що якщо. $\binom{x}{y} = 0$ $y > x$

Напевно, є спеціальні випадки, коли формулу можна спростити. Цього разу я не намагався знайти ці спрощення.

Очікуване значення, яке ви шукаєте для кількості кольорів, залежних від , таке: $n$

γ_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i

$\gamma_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i$

— jakab922
джерело

Ви називаєте

ймовірністю, але ви, схоже, визначили це як суму цілих чисел. Ти забув розділити чимось?

P_{n, c}

$P_{n,c}$

— Кодіолог

Так, я думаю, ти маєш рацію. Вам потрібно розділити на

, але, на жаль, це все одно не так. Якщо

я роблю подвійний облік у наведеній вище формулі.

(\binom{N}{n})

$\binom{N}{n}$

E, F \in E_{c} (B)

$E, F \in E_{c}(B)$

E \cap F \neq \emptyset

$E \cap F \neq \emptyset$

— jakab922

Seems like the formula can be fixed by using the sieve method. I will post a fix later today.

— jakab922