Від ідентифікації до оцінки

Зараз я читаю твір Перла (Pearl, 2009, 2-е видання) про причинності та боротьбі за встановлення зв'язку між непараметричною ідентифікацією моделі та фактичною оцінкою. На жаль, сама Перл на цю тему дуже мовчить.

Для прикладу я маю на увазі просту модель з причинним шляхом, $x \rightarrow z \rightarrow y$ , і конфодер, який впливає на всі змінні $w \rightarrow x$ , $w \rightarrow z$ і $w \rightarrow y$ . На додачу, $x$ і $y$ пов'язані непоміченими впливами, $x \leftarrow \rightarrow y$ . За правилами "числення" тепер я знаю, що розподіл ймовірностей після втручання (дискретний) задається:

P (y ∣ d o (x)) = \sum_{w, z} [P (z ∣ w, x) P (w) \sum_{x} [P (y ∣ w, x, z) P (x ∣ w)]] .

$P(y \mid do(x)) = \sum_{w,z}\bigl[P(z\mid w,x)P(w)\sum_{x}\bigl[P(y\mid w,x,z)P(x\mid w)\bigr]\bigr].$

Мені цікаво, як я можу оцінити цю кількість (непараметрично або вводячи параметричні припущення)? Особливо для випадку, коли $w$ являє собою сукупність декількох заплутаних змінних величин, що цікавлять, є безперервними. Оцінити спільний розподіл даних перед втручанням в цьому випадку представляється дуже недоцільним. Хтось знає застосування методів Перла, який займається цими проблемами? Я був би дуже радий вказівнику.

estimation references causality

— ПГУ
джерело

Якщо у вас є незафіксовані фактори, які впливають і на x, і на y, я думаю, ви не можете оцінити це без фактичної рандомізації x. Але, хоча я знаю досить багато про контрфактичний підхід до причинності, я не такий знайомий з пер-фактом числення (я все ще сам працюю над його книгою).

— Еллі

Це дуже гарне запитання. Спочатку давайте перевіримо, чи правильна ваша формула. Надана вами інформація відповідає наступній причинно-наслідковій моделі:

І як ви вже сказали, ми можемо отримати оцінку для $P(Y|do(X))$ користуючись правилами числення. У R ми можемо легко зробити це з пакетом causaleffect. Спочатку завантажуємось igraphдля створення об'єкта за допомогою причинно-наслідкової діаграми, яку ви пропонуєте:

library(igraph)
g <- graph.formula(X-+Y, Y-+X, X-+Z-+Y, W-+X, W-+Z, W-+Y, simplify = FALSE)
g <- set.edge.attribute(graph = g, name = "description", index = 1:2, value = "U")

Де перші два терміни X-+Y, Y-+Xпредставляють непомічені плутанини $X$ і $Y$ а решта термінів представляють згадані вами спрямовані краї.

Тоді ми просимо нашу оцінку:

library(causaleffect)
cat(causal.effect("Y", "X", G = g, primes = TRUE, simp = T, expr = TRUE))

\sum_{W, Z} (\sum_{X^{'}} P (Y | W, X^{'}, Z) P (X^{'} | W)) P (Z | W, X) P (W)

$\sum_{W,Z}\left(\sum_{X^{\prime}}P(Y|W,X^{\prime},Z)P(X^{\prime}|W)\right)P(Z|W,X)P(W)$

Що дійсно збігається з вашою формулою --- випадок фронтону із спостережуваним конфеденсом.

Тепер перейдемо до оцінки. Якщо ви припускаєте лінійність (і нормальність), все значно спрощується. В основному те, що ви хочете зробити, - це оцінити коефіцієнти шляху $X \rightarrow Z \rightarrow Y$ .

Давайте змоделюємо деякі дані:

set.seed(1)
n <- 1e3
u <- rnorm(n) # y -> x unobserved confounder
w <- rnorm(n)
x <- w + u + rnorm(n)
z <- 3*x + 5*w + rnorm(n)
y <- 7*z + 11*w + 13*u + rnorm(n)

Зауважте в нашому моделюванні справжній причинний ефект зміни $X$ на $Y$ є 21. Ви можете оцінити це, застосувавши дві регресії. Спочатку $Y \sim Z+W+X$ щоб отримати ефект від $Z$ на $Y$ і потім $Z \sim X + W$ щоб отримати ефект від $X$ на $Z$ . Ваша оцінка буде добутком обох коефіцієнтів:

yz_model <- lm(y ~ z + w + x)
zx_model <- lm(z ~ x + w)

yz <- coef(yz_model)[2]
zx <- coef(zx_model)[2]
effect <- zx*yz
effect
       x 
21.37626

А для висновку ви можете обчислити (асимптотичну) стандартну помилку продукту:

se_yz <- coef(summary(yz_model))[2, 2]
se_zx <- coef(summary(zx_model))[2, 2]
se <- sqrt(yz^2*se_zx^2 + zx^2*se_yz^2)

Які ви можете використовувати для тестів або довірчих інтервалів:

c(effect - 1.96*se, effect + 1.96*se) # 95% CI
       x        x 
19.66441 23.08811

Ви також можете виконати (не / напів) параметричне оцінювання, я спробую оновити цю відповідь, включаючи інші процедури пізніше.

— Карлос Сінеллі
джерело