Як використовувати метод дельти для стандартних помилок граничних ефектів?

Мене цікавить краще розуміння методу дельти для наближення стандартних помилок середніх граничних ефектів регресійної моделі, що включає термін взаємодії. Я розглянув пов'язані питання в рамках дельта-методу, але жодне не дало того, що я шукаю.

Розглянемо такі приклади даних як мотивуючий приклад:

set.seed(1)
x1 <- rnorm(100)
x2 <- rbinom(100,1,.5)
y <- x1 + x2 + x1*x2 + rnorm(100)
m <- lm(y ~ x1*x2)

Мене цікавлять середні граничні ефекти (AME) x1та x2. Для їх обчислення я просто виконую наступне:

cf <- summary(m)$coef
me_x1 <- cf['x1',1] + cf['x1:x2',1]*x2 # MEs of x1 given x2
me_x2 <- cf['x2',1] + cf['x1:x2',1]*x1 # MEs of x2 given x1
mean(me_x1) # AME of x1
mean(me_x2) # AME of x2

Але як я можу використовувати метод delta для обчислення стандартних помилок цих AME?

Я можу обчислити SE для цієї конкретної взаємодії вручну:

v <- vcov(m)
sqrt(v['x1','x1'] + (mean(x2)^2)*v['x1:x2','x1:x2'] + 2*mean(x2)*v['x1','x1:x2'])

Але я не розумію, як використовувати метод delta.

В ідеалі я шукаю деякі вказівки щодо того, як думати про (та кодувати) метод дельти для AME будь-якої моделі довільної регресії. Наприклад, це питання дає формулу для SE для конкретного ефекту взаємодії, і цей документ від Метта Голдера надає формули для різних інтерактивних моделей, але я хочу краще зрозуміти загальну процедуру обчислення SE на AME, а не формулу для SE будь-якого конкретного AME.

$g$$\beta$$b$

$$g(b) \approx g(\beta) + \nabla g(\beta)^\prime (b - \beta)$$ $\beta$$b$$\beta$ $$\sqrt{n}\left(g(b)-g(\beta)\right)\,\xrightarrow{D}\,N\left(0, \nabla g(\beta)^\prime \cdot \Sigma_b \cdot \nabla g(\beta)\right)$$ $b$$g$ $$g(b_1,b_2)=b_1+b_2 \text{ mean}(x_2)$$ $x_2$ $$[1,\,\, \text{mean}(x_2)]^\prime$$ $b$ $$\left[ \begin{matrix} s_{11} & s_{12} \\ s_{12} & s_{22} \end{matrix}\right]$$

$g$RnumDeriv

ДОДАТОК: У цьому конкретному випадку Rкод буде:

v <- vcov(m)

# Define function of coefficients. Note all coefficients are included so it 
# will match dimensions of regression coefficients, this could be done more 
# elegantly in principle
g <- function(b){
    return(b[2] + b[4] * mean(x2))
}

require(numDeriv) # Load numerical derivative package

grad_g <-  jacobian(g, m$coef) # Jacobian gives dimensions, otherwise same as
                               # gradient 

sqrt(grad_g%*% v %*% t(grad_g)) # Should be exactly the same 

Зауважте, що для цієї проблеми завжди буде бажано отримати точний градієнт замість числового градієнта, оскільки точний градієнт матиме меншу обчислювальну помилку. Справа в тому, що$g$