Обчислення параметрів бета-розподілу за допомогою середнього та дисперсії

66

Як я можу обчислити параметри і для бета-розподілу, якщо я знаю середнє значення та дисперсію, яку я хочу мати у розподілі? Приклади команди R для цього були б найбільш корисними. $\alpha$ $\beta$

r distributions estimation beta-distribution

— Дейв Кінкейд
джерело

4

Зауважимо, що пакунок betareg в R використовує альтернативну параметризацію (із середнім значенням,

, і точністю,

- і, отже, дисперсія дорівнює

) що унеможливлює необхідність цих розрахунків.

μ = α / α + β

$\mu=\alpha/\alpha+\beta$

ϕ = α + β

$\phi=\alpha+\beta$

μ (1 - μ) / (1 + ϕ)

$\mu(1-\mu)/(1+\phi)$

— gung - Відновіть Моніку

90

Встановлю і

μ = \frac{α}{α + β}

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$

і розв'язується для

і

. Мої результати показують, що

σ^{2} = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}

$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$

α

$\alpha$

β

$\beta$

і

α = (\frac{1 - μ}{σ^{2}} - \frac{1}{μ}) μ^{2}

$\alpha=\left(\frac{1-\mu}{\sigma^2}-\frac{1}{\mu}\right)\mu^2$

β = α (\frac{1}{μ} - 1)

$\beta=\alpha\left(\frac{1}{\mu}-1\right)$

Я написав деякий код R для оцінки параметрів розподілу бета-версії з заданої середньої, мю та дисперсії, var:

estBetaParams <- function(mu, var) {
  alpha <- ((1 - mu) / var - 1 / mu) * mu ^ 2
  beta <- alpha * (1 / mu - 1)
  return(params = list(alpha = alpha, beta = beta))
}

$\mu$ $\sigma^2$

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\in\left(0, 1\right)$
$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}=\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{\alpha+\beta+1}<\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{1}=\mu\left(1-\mu\right)\in\left(0,0.5^2\right)$

— передбачаєтьсянормальне
джерело

2

@stan Це дасть вам розповсюдження бета-версії, яке має те саме значення та дисперсію, що й ваші дані. Це не скаже вам, наскільки добре розподіл відповідає даним. Спробуйте тест Колмогорова-Смірнова .

— припускаєтьсянормальне

4

Коли я викликаю цю функцію estBetaParams(0.06657, 0.1)я alpha=-0.025, beta=-0.35. Як це можливо?

— Амеліо Васкес-Рейна

1

Ці обчислення будуть працювати лише в тому випадку, якщо дисперсія менша середньої величини * (1-середня).

— Данно

2

σ^{2} \leq μ (1 - μ)

$\sigma^2\leq\mu\left(1-\mu\right)$

σ^{2} = \frac{μ (1 - μ)}{α + β + 1}

$\sigma^2=\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{\alpha+\beta+1}$

α + β + 1 \geq 1

$\alpha+\beta+1\geq1$

σ^{2} \leq μ (1 - μ)

$\sigma^2\leq\mu\left(1-\mu\right)$

1

@ AmelioVazquez-Reina Якщо ви дасте свої вихідні дані, я думаю, це швидко стане очевидним, чому бета-розподіл не підходить.

— Glen_b

21

Ось загальний спосіб вирішити такі проблеми, використовуючи Maple замість R. Це працює і для інших дистрибутивів:

with(Statistics):
eq1 := mu = Mean(BetaDistribution(alpha, beta)):
eq2 := sigma^2 = Variance(BetaDistribution(alpha, beta)):
solve([eq1, eq2], [alpha, beta]);

що призводить до рішення

\begin{aligned} α & = - \frac{μ (σ^{2} + μ^{2} - μ)}{σ^{2}} \\ β & = \frac{(σ^{2} + μ^{2} - μ) (μ - 1)}{σ^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align*} \alpha &= - \frac{\mu (\sigma^2 + \mu^2 - \mu)}{\sigma^2} \\ \beta &= \frac{(\sigma^2 + \mu^2 - \mu) (\mu - 1)}{\sigma^2}. \end{align*}$

Це еквівалентно рішення Макса.

— Ерік П.
джерело

5

$\textbf{shape1} = a$ $\textbf{shape2} = b$

$f(x) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}$

$a > 0$ $b >0$ $0 < x < 1$

У R ви можете обчислити його

dbeta (x, shape1 = a, shape2 = b)

$E(X) = \frac{a}{a+b}$ $V(X) = \frac{ab}{(a + b)^2 (a + b + 1)}$

Гарна робота!

Редагувати

Я знайшов:

$a = \left( \frac{1 - \mu}{V} - \frac{1}{\mu} \right) \mu^2$

і

$b = \left( \frac{1 - \mu}{V} - \frac{1}{\mu} \right) \mu (1 - \mu)$

$\mu=E(X)$ $V=V(X)$

— окрам
джерело

Я усвідомлюю, що моя відповідь дуже схожа на інші. Тим не менш, я вважаю, що завжди корисно спочатку перевірити, для чого використовується параметризація R ....

— ocram

2

μ = \frac{α}{α + β}

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$

σ^{2} = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}

$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$

β = α (\frac{1}{μ} - 1)

$\beta=\alpha(\frac{1}{\mu}-1)$

— Нік Саббе
джерело

1

У Вікіпедії є розділ щодо оцінки параметрів, який дозволяє уникнути занадто багато роботи :)

— rm999

1

$[a,b]$

μ = \frac{a β + b α}{α + β}, σ^{2} = \frac{α β {(b - a)}^{2}}{{(α + β)}^{2} (1 + α + β)}

$\mu=\frac{a\beta+b\alpha}{\alpha+\beta},\quad\sigma^{2}=\frac{\alpha\beta\left(b-a\right)^{2}}{\left(\alpha+\beta\right)^{2}\left(1+\alpha+\beta\right)}$

який можна перевернути, щоб дати:

α = λ \frac{μ - a}{b - a}, β = λ \frac{b - μ}{b - a}

$\alpha=\lambda\frac{\mu-a}{b-a},\quad\beta=\lambda\frac{b-\mu}{b-a}$

де

λ = \frac{(μ - a) (b - μ)}{σ^{2}} - 1

$\lambda=\frac{\left(\mu-a\right)\left(b-\mu\right)}{\sigma^{2}}-1$

— бекко
джерело

Користувач намагався залишити такий коментар: "Тут десь є помилка. Поточна формулювання не повертає правильну дисперсію".

— Срібна рибка

1

$\mu$ $\alpha$ $\beta$ $\beta$

β = \frac{α (1 - μ)}{μ}

$\beta=\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu}$

α

$\alpha$

σ^{2} = \frac{\frac{α^{2} (1 - μ)}{μ}}{(α + \frac{α (1 - μ)}{μ})^{2} (α + \frac{α (1 - μ)}{μ} + 1)}

$\sigma^2=\frac{\frac{\alpha^2(1-\mu)}{\mu}}{(\alpha+\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu})^2(\alpha+\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu}+1)}$

σ^{2} = \frac{\frac{α^{2} (1 - μ)}{μ}}{(\frac{α}{μ})^{2} \frac{α + μ}{μ}}

$\sigma^2=\frac{\frac{\alpha^2(1-\mu)}{\mu}}{(\frac{\alpha}{\mu})^2\frac{\alpha+\mu}{\mu}}$

σ^{2} = \frac{(1 - μ) μ^{2}}{α + μ}

$\sigma^2=\frac{(1-\mu)\mu^2}{\alpha+\mu}$

α

$\alpha$

— П'яне виведення
джерело

0

Я шукав пітона, але натрапив на це. Тож це було б корисно для інших, як я.

Ось код python для оцінки бета-параметрів (відповідно до наведених вище рівнянь):

# estimate parameters of beta dist.
def getAlphaBeta(mu, sigma):
    alpha = mu**2 * ((1 - mu) / sigma**2 - 1 / mu)

    beta = alpha * (1 / mu - 1)

    return {"alpha": 0.5, "beta": 0.1}


print(getAlphaBeta(0.5, 0.1)  # {alpha: 12, beta: 12}

$\alpha$ $\beta$ scipy.stats.beta

— міфічнийкодер
джерело