Коли коли-небудь середня статистика є достатньою статистикою?

Я зіткнувся із зауваженням хімічного статистика, що медіана вибірки часто може бути вибором для достатньої статистики, але, крім очевидного випадку одного чи двох спостережень, коли вона дорівнює середній вибірці, я не можу придумати ще одне нетривіальне та iid випадок, коли медіана вибірки достатня.

— Сіань
джерело

Ви мали на увазі написати ", що часто може бути вибіркова медіана"?

— Juho Kokkala

Це цікаве питання; подвійний показник має медіану для оцінювача ML свого параметра розташування, але це недостатньо.

— Glen_b -Встановити Моніку

У тому випадку , коли носій розподілу не залежить від невідомого параметра & thetas, ми можемо викликати (Фреш-Darmois-) Пітмен-Купман теорему, а саме про те , що щільність спостережень обов'язково експоненційної форми сім'ї, щоб зробити висновок, що, оскільки природна достатня статистика також мінімально достатня, то медіана повинна бути функцією

\exp {θ T (x) - ψ (θ)} h (x)

$\exp\{ \theta T(x) - \psi(\theta) \}h(x)$

S = \sum_{i = 1}^{n} T (x_{i})

$S=\sum_{i=1}^n T(x_i)$

S

$S$ , що неможливо: модифікуючи крайність у спостереженнях

, модифікує

але не змінює медіану.

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

n > 2

$n>2$

S

$S$

f (x | θ) = h (x) I_{A_{θ}} (x) τ (θ)

$f(x|\theta) = h(x) \mathbb{I}_{A_\theta}(x) \tau(\theta)$

A_{θ}

$A_\theta$

f

$f$

\prod_{i = 1}^{n} I_{A_{θ}} (x_{i})

$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i)$

\prod_{i = 1}^{n} I_{A_{θ}} (x_{i}) = I_{B_{θ}^{n}} (med (x_{1 : n}))

$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i) = \mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))$

x_{n + 1}

$x_{n+1}$

I_{B_{θ}^{n + 1}} (med (x_{1 : n + 1})) = I_{B_{θ}^{n}} (med (x_{1 : n})) \times I_{A_{θ}} (x_{n + 1})

$\mathbb{I}_{B^{n+1}_\theta}(\text{med}(x_{1:n+1}))=\mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))\times \mathbb{I}_{A_\theta}(x_{n+1})$

— Сіань
джерело

B_{θ}^{n}

$B_\theta^n$

Це підтримка медіани.

— Сіань