Функція передачі в моделях прогнозування - інтерпретація

Я зайнятий моделюванням ARIMA, доповненим екзогенними змінними для цілей рекламного моделювання, і мені важко пояснити це діловим користувачам. У деяких випадках програмні пакети закінчуються простою функцією передачі, тобто параметром * Exogenous Variable. У цьому випадку інтерпретація є простою, тобто промоційна діяльність X (представлена ​​екзогенною бінарною змінною) впливає на залежну змінну (наприклад, попит) на величину Y. Отже, з точки зору бізнесу, можна сказати, що рекламна діяльність X призводить до збільшення попиту на одиниці Y.

Інколи функція передачі ускладнюється, наприклад, поділ многочленів * Екзогенна змінна. Що я міг би зробити, це зробити поділ поліномів так, щоб знайти всі коефіцієнти динамічної регресії і сказати, що, наприклад, рекламна діяльність впливає не тільки на попит протягом періоду, який він відбувається, але і в майбутніх часових періодах. Але оскільки програмні пакети виводять функції передачі як поділ поліномів, ділові користувачі не можуть зробити інтуїтивну інтерпретацію. Чи є щось, що ми могли б сказати про складну функцію передачі, не роблячи поділу?

Параметри відповідної моделі та пов'язаної з ними функції передачі представлені нижче:

Константа = 4200, AR (1), коефіцієнт рекламної активності 30, Num1 = -15, Num2 = 1,62, Den1 = 0,25

Тож я здогадуюсь, що якщо ми зробимо рекламну діяльність у цей період, рівень попиту зросте на 30 одиниць. Оскільки існує функція передачі (поділ поліномів), рекламна діяльність матиме вплив не тільки на поточний період часу, але і на наступні періоди. питання полягає в тому, як ми можемо знайти, на скільки періодів у майбутньому впливатимуть рекламні акції та який буде їх вплив на період в одиницях попиту.

Ця відповідь ґрунтується на нотації Makridakis et. аль підручник з прогнозування. Я б припустив, що це аналогічно в будь-яких стандартних підручниках з моделювання функцій передачі. Я також перевірив би чудовий текст Алана Панкраца про моделювання функції передачі, оскільки наступна відповідь мотивована відмінною графікою в цих двох книгах. Я використовую позначення під назвою$r,s,b$у рівнянні функції передачі вам потрібно це зрозуміти з довідкових підручників, щоб ви зрозуміли матеріал нижче. Я підсумував їх нижче:

1. $r$- кількість термінів знаменника. (яка схема загнивання - швидка чи повільна?)
2. $s$- кількість термінів чисельника. (коли ефект трапляється?)
3. $b$ - скільки затримка набуття чинності.

Загальна функція передачі має вигляд:

$$Y_t = \mu + \frac{(\omega_0-\omega_1B^1- .....-\omega_sB^s)} {1-\delta_1B^1 - ...\delta_r B^r} X_{t-b}+e_t$$

Це може допомогти розмістити ваші коефіцієнти у форматі рівняння, як показано нижче. Також врахуйте$Y_t$ як продажів та $X_t$ як просування / реклама вчасно $t$ для легкого розуміння.

У вашому випадку $r$= 1, $s$= 2 і $b$ = 0

$$Y_t = \mu + \frac{(\omega_0-\omega_1B^1-\omega_2B^2)} {1-\delta B} X_t+e_t$$ де $e_t$ є $AR(1)$ процес. $\mu$ - константа / рівень і $\omega$ - коефіцієнти чисельника і $\delta$ - коефіцієнт знаменника.

Застосування ваших коефіцієнтів до вищевказаного рівняння означає:

$$Y_t = 4200 + \frac{(30 + 15B^1- 1.62 B^2)} {1-0.25B} X_t+e_t$$

Чисельник позначає частину ковзної середньої (ковзної середньої) частини, а знаменник - авторегресивну частину функції передачі. Подумайте про чисельник як тоді, коли починається ефект, і знаменник контролюватиме занепад фактора чисельника. ІТ може додатково допомогти зруйнувати лише функцію передачі в додатковому форматі, використовуючи основну алгебру для ілюстрації ефектів.

$$\frac{30} {1-0.25B}X_t + \frac{15B^1} {1-0.25B}X_t - \frac{1.62B^2} {1-0.25B}X_t$$

Я використовував SAS для більшості своїх розрахунків ( див. Цей веб-сайт ). Тепер виконання рекурсивного обчислення першої частини рівняння, як зазначено на веб-сайті, перекладається на наступний малюнок. Це вам говорить, що реклама на час$t = 0$викликає 30 додаткових одиниць у Продажі, всі речі рівні. Ця реклама також впливає на наступні періоди, наприклад, на$t = 1$ ефект - 7,5 інкрементних одиниць тощо, обумовлений коефіцієнтом знаменника $\delta = 0.25$.

Друга частина і третя частина функції передачі, застосовуючи рекурсивний обчислення, перекладається на наступний графік. У другій частині зауважте, що продажі на$t=0$прирівнюється до 15 одиниць відставання продажів 2 і занепадає далі. Третя частина чисельника призводить до зниження продажів на -1,62 одиниці при відставанні 3 та занепаді.

Поєднання всіх 3 частин функції передачі додатково з використанням базової алгебри переводиться в остаточну форму, як показано нижче:

Про це вам говорить ця реклама на сайті $t=0$ викликає 30 одиниць продажів у $t=0$ та 22,5 одиниці продажів у $t=1$ і швидко зменшується до 4 одиниць продажів при $t=2$ і так далі ....

Давайте подивимося, що станеться, якщо змінити коефіцієнт знаменника з 0,25 на 0,70 і зберегти чисельник як 30. До речі, наступне рівняння є простою формою функції передачі, яка дуже добре працює на практиці, також називається нескінченною розподіленою лаговою моделлю або відставанням Койка модель .

$$\frac{\omega_0} {1-\delta B}X_t => \frac{30} {1-0.70B}X_t$$

Це було б представлено у вигляді наступного малюнка, оскільки ви бачите, що розпад дуже повільний через коефіцієнт занепаду, який збільшився з 0,25 до 0,70.

Сподіваюся, це корисно. Я засвоїв досвід, що візуалізація - це єдиний спосіб пояснити функцію передачі не технічній аудиторії, включаючи мене. Практична пропозиція, я б рекомендував проводити експерименти над даними через те, що це можуть бути просто ілюзіями, як зазначив Армстронг. Якщо можливо, я б здійснив експеримент вашої "причинної" змінної, щоб встановити "причину і наслідок". Також я не знаю, чому ваш чисельник 3 дорівнює -1,62, це може бути просто помилково.

Будь ласка, надайте зворотній зв’язок, якщо ви вважаєте, що ця публікація є корисною, оскільки потрібні певні зусилля, щоб відповісти на цю відповідь. Я дізнався про візуалізацію функції передачі на цьому веб-сайті завдяки @ javlacalle .

За багатьох обставин, з якими я консультувався, перед акцією часто виникає виняткова активність, що відображає свинцеві ефекти. Автоматичне / рутинне виявлення цього явища є критично важливим для хорошої розробки моделі. Крім того, потрібно враховувати імпульси, зміни рівня, місцеві тенденції часу, інакше вони перешкоджають / спотворюють аналіз. Ми також виявили, що хоча для визначення функції передачі можуть бути необхідні відмінності, вони не обов'язково є частиною остаточної моделі. Цей та інші моменти не були розглянуті в роботі «Бокс» та «Дженкінс», але зараз вони регулярно вирішуються. Якщо ви хочете опублікувати свої дані, я та інші могли б допомогти з'ясувати це, одночасно досліджуючи необхідні перетворення, такі як силові перетворення або зважені найменші квадрати. Я використовував програмне забезпечення, яке відновлює функцію передачі як звичайну модель регресії (поліноміально розподілена відставання / авторегресивна розподілена відставання). Це дуже корисно для пояснення моделі клієнтам / клієнтам, а також корисно для подальшого використання рівняння.

З точки зору вираження моделі TF як чистої правої частини

МОДЕЛІ ПРЕДСТАВЛЕНІ: 1.
ЧИСТА МОДЕЛЬ В УМОВАХ ВХОДІВ
Y = K1 + [W (B) / D (B)] * X + [THETA (B) / PHI (B)] * A
2.AS МІКСИДОВА МОДЕЛЬ, ВКЛЮЧАЮЧІ ЛАГИ OF Y
D (B) * PHI (B) * Y = K2
= + PHI (B) * W (B) * X
= + D (B) * THETA (B) * A
= + PHI (B) * W ( В) * X = + D (B) * THETA (B) * A

    WHERE K2 = K1*[D(B)*PHI(B)]                                             
     OR   K1 = K2*/[D(B)*PHI(B)]                                            

ОЦІНКА РОЗВИТКУЄТЬСЯ, ЯК А (2),
В той час як СТОЛЬКА ПРЕДСТАВЛЯЄТЬСЯ ЯК А (1).
В ТАБЛИЦІ КОНСТАНТ К2, ВІДПОВІДЖЕНО
У ФОРМІ (1) КОНСТАНТ К1,
МИ ПРЕДСТАВЛЯЄМО ТУТ У ФОРМУ (2).

МОДЕЛЬ, ВИРАЗОВАНИЙ ЯК XARMAX
Y [t] = a 1 Y [t-1] + ... + a [p] Y [tp]
+ w [0] X [t-0] + ... + w [r ] X [tr]
+ b 1 a [t-1] + ... + b [q] a [tq]
+ константа

Модель автоматично побудована для даних про продажі з тексту Bpx-Jenkins

. Висловлюючи це як "регресійну модель", ми отримуємо