Уніфікована випадкова величина як сума двох випадкових величин

Взяті від Гріммета та Стірцакера :

Покажіть, що не може бути випадку, що де рівномірно розподілено на [0,1], а і незалежні та однаково розподілені. Не слід вважати, що X і Y - суцільні змінні. $U=X+Y$ $U$ $X$ $Y$

Простий доказ протиріччя достатній для випадку, коли , вважаються дискретними, стверджуючи, що завжди можна знайти і таких, що тоді як . $X$ $Y$ $u$ $u'$ $P(U\leq u+u') \geq P(U\leq u)$ $P(X+Y \leq u) = P(X+Y \leq u+u')$

Однак це доказ не поширюється на є абсолютно безперервним або єдиним безперервним. Підказки / коментарі / критика? $X,Y$

— правами
джерело

Підказка : Характерні функції - ваші друзі.

— кардинал

X і Y - тому їх характерні функції повинні бути однаковими. Вам потрібно використовувати характеристичну функцію, не функцію, що генерує момент - mgf не гарантовано існує для X, тому показ mgf має неможливу властивість не означає, що такого X немає. Усі RV мають характерну функцію, тож якщо ви покажете, що має неможливе властивість, то такого X. немає

— Срібна рибка

Якщо в розподілах і є атоми , скажіть, що , тоді і так не можна рівномірно розподілити на . Таким чином, зайвим вважати випадок розподілів і мають атоми.

X $X$

Y $Y$

P{X=a}=P{Y=a}=b>0 $P\{X=a\}=P\{Y=a\} = b > 0$

P{X+Y=2a}≥b2>0 $P\{X+Y=2a\} \geq b^2 > 0$

X+Y $X+Y$

[0,1] $[0,1]$

X $X$

Y $Y$

— Діліп Сарват

Відповіді:

Результат можна довести за допомогою малюнка: видимі сірі області показують, що рівномірний розподіл не може бути розбитий як сума двох незалежних однаково розподілених змінних.

Позначення

Нехай і є такими, що має рівномірний розподіл на . Це означає, що для всіх , $X$ $Y$ $X+Y$ $[0,1]$ $0\le a \le b \le 1$

Pr (a < X + Y \leq b) = b - a .

$\Pr(a < X+Y \le b) = b-a.$

Отже, суттєвою підтримкою спільного розподілу та є (бо в іншому випадку існує позитивна ймовірність того, що лежить поза ). $X$ $Y$ $[0,1/2]$ $X+Y$ $[0,1]$

Фото

Нехай . Розгляньте цю діаграму, що показує, як обчислюються суми випадкових змінних: $0 \lt \epsilon \lt 1/4$

Малюнок

Основний розподіл ймовірностей є спільним для . Імовірність будь-якої події задається сумарною ймовірністю, охопленою діагональною смугою, що тягнеться між лініями і . Показано три такі смуги: від до , що з'являється як маленький синій трикутник у нижній лівій частині; від до , показаний у вигляді сірого прямокутника, обкладеного двома (жовтим та зеленим) трикутниками; і від до , маючи червоний трикутник у верхньому правому куті. $(X,Y)$ $a \lt X+Y \le b$ $x+y=a$ $x+y=b$ $0$ $\epsilon$ $1/2-\epsilon$ $1/2+\epsilon$ $1-\epsilon$ $1$

Що показує малюнок

Порівнюючи нижній лівий трикутник на рисунку з лівим нижнім квадратом, що містить його, та використовуючи припущення про iid для та , зрозуміло, що $X$ $Y$

ϵ = Pr (X + Y \leq ϵ) < Pr (X \leq ϵ) Pr (Y \leq ϵ) = Pr (X \leq ϵ) 2 .

$\epsilon = \Pr(X+Y \le \epsilon) \lt \Pr(X \le \epsilon)\Pr(Y \le \epsilon) = \Pr(X \le \epsilon)^2.$

Зауважте, що нерівність сувора: рівність неможлива, оскільки існує деяка позитивна ймовірність того, що і і менше, ніж але все-таки . $X$ $Y$ $\epsilon$ $X+Y \gt \epsilon$

Аналогічно, порівнюючи червоний трикутник з квадратом у верхньому правому куті,

ϵ = Pr (X + Y > 1 - ϵ) < Pr (X > 1 / 2 - ϵ) 2 .

$\epsilon = \Pr(X+Y \gt 1-\epsilon) \lt \Pr(X \gt 1/2-\epsilon)^2.$

Нарешті, порівняння двох протилежних трикутників у верхньому лівому та нижньому правому куті з діагональною смугою, що їх містить, дає ще одну сувору нерівність,

2 ϵ < 2 Pr (X \leq ϵ) Pr (X > 1 / 2 - ϵ) < Pr (1 / 2 - ϵ < X + Y \leq 1 / 2 + ϵ) = 2 ϵ .

$2\epsilon \lt 2 \Pr(X\le \epsilon)\Pr(X \gt 1/2-\epsilon) \lt \Pr(1/2-\epsilon \lt X+Y \le 1/2+\epsilon) = 2\epsilon.$

Перше нерівність випливає з двох попередніх (взяти їх квадратні корені і помножити їх) , а другий описує (строге) включення трикутників в межах смуги і остання рівність висловлює однорідність . Висновок, що є протиріччям, що доводить такі і не може існувати, QED . $X+Y$ $2\epsilon \lt 2\epsilon$ $X$ $Y$

— дзижчати
джерело

(+1) Мені подобається такий підхід. Знову повертаючи конверт із кошика макулатури, я можу побачити, що я намалював ту саму схему, за винятком того, що на жовтому та зеленому трикутниках всередині смуги я не позначив. Я отримав нерівності для синього та червоного трикутників. Я розігрувався з ними та ще кількома ймовірностями, але ніколи не думав досліджувати ймовірність смуги, що виявляється критичним кроком. Цікаво, який мислительний процес міг би мотивувати це розуміння?

— Срібна рибка

Насправді, де у @whuber є трикутники жовтого та зеленого кольору, я малював квадрати (я ефективно розклав в сітку). Дивлячись на крок, який "описує (суворе) включення трикутників всередині смуги", , мені цікаво, чи це насправді би було геометрично більш природним з квадратами, що обмежують смугу, ніж трикутники?

[0,0.5]2 $[0, 0.5]^2$

2Pr(X≤ϵ)Pr(X>1/2−ϵ)<Pr(1/2−ϵ<X+Y≤1/2+ϵ) $2 \Pr(X\le \epsilon)\Pr(X \gt 1/2-\epsilon) \lt \Pr(1/2-\epsilon \lt X+Y \le 1/2+\epsilon)$

— Срібна рибка

@Silver Мені нагадали аналіз сум рівномірного розподілу, який я розмістив пару років тому. Це пропонувало візуалізувати суму геометрично. Одразу було видно, що велика ймовірність повинна бути зосереджена поблизу кутів та щоб сума була рівномірною і порівняно невеликою ймовірністю була біля центральної діагоналі . Це призвело до діаграми, яку я перекроював у Mathematica. У той момент відповідь написала сама. Так, використання квадратів у центральній смузі може бути акуратніше.

X+Y $X+Y$

(0,0) $(0,0)$

(1/2,1/2) $(1/2,1/2)$

X+Y=1/2 $X+Y=1/2$

— whuber

Спасибі! "Зауважте, що нерівність сувора: рівність неможлива, оскільки існує деяка позитивна ймовірність того, що або

або

менше, ніж

але все-таки

." Я не впевнений, що слідую за цим. Мені здається, мета тут - показати

, це не вимагає позитивної ймовірності для якоїсь події

в якій обидва

іX $X$

Y $Y$

ϵ $\epsilon$

X+Y>ϵ $X+Y \gt \epsilon$

Pr(X+Y≤ϵ)<Pr(X≤ϵ∩Y≤ϵ) $\Pr(X+Y \le \epsilon) \lt \Pr(X \le \epsilon \cap Y \le \epsilon)$

A $A$

X $X$

менше або дорівнює

і все ж

? Я коливаюсь, це "будь-який з" проти "обох". Y $Y$

ϵ $\epsilon$

X+Y>ϵ $X + Y > \epsilon$

— Срібна рибка

@Silverfish Дякую; Я цього не висловив так, як мав намір. Ви маєте рацію: мова призначена по суті для опису частини маленького квадрата, не всередині трикутника.

— whuber

Я намагався знайти доказ, не враховуючи характерних функцій. Зайвий куртоз робить свою справу. Ось дворядкова відповідь: оскільки і - iid. Тоді означає що є протиріччям, як $\text{Kurt}(U) = \text{Kurt}(X + Y) = \text{Kurt}(X) / 2$ $X$ $Y$ $\text{Kurt}(U) = -1.2$ $\text{Kurt}(X) = -2.4$ для будь-якої випадкової величини. $\text{Kurt}(X) \geq -2$

Доволі цікавішою є суть міркувань, яка мене змусила до цього моменту. (і ) повинні бути обмежені між 0 і 0,5 - це багато очевидного, але корисно означає, що його моменти та центральні моменти існують. Почнемо з розгляду середнього та дисперсії: і $X$ $Y$ $\mathbb{E}(U)=0.5$ . Якщоіоднаково розподілені, то маємо: $\text{Var}(U)=\frac{1}{12}$ $X$ $Y$

E (X + Y) = E (X) + E (Y) = 2 E (X) = 0.5

$\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y) = 2 \mathbb{E}(X)= 0.5$

Отже . Для відхилення нам потрібно додатково використовувати незалежність, щоб застосувати: $\mathbb{E}(X) = 0.25$

Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) = 2 Var (X) = 1 12

$\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) = 2 \text{Var}(X) = \frac{1}{12}$

Звідси і $\text{Var}(X) = \frac{1}{24}$ . Оце Так! Це дуже багато варіацій для випадкової змінної, підтримка якої становить від 0 до 0,5. Але ми повинні були очікувати цього, оскільки стандартне відхилення не буде масштабуватися так, як це було середнє. $\sigma_X = \frac{1}{2\sqrt{6}} \approx 0.204$

Тепер, яке найбільше стандартне відхилення, яке може мати випадкова величина, якщо найменше значення, яке воно може взяти, дорівнює 0, найбільше значення, яке він може приймати, - 0,5, а середнє значення - 0,25? Зібравши всю вірогідність у двох точках на крайнощах, що знаходяться на відстані 0,25 від середньої величини, явно було б дано стандартне відхилення 0,25. Отже наш великий, але не неможливий. (Я сподівався показати, що це передбачає занадто велику ймовірність, що лежить у хвостах, щоб була рівномірною, але я не міг нікуди потрапити з цим на звороті конверта.) $\sigma_X$ $X + Y$

Міркування другого моменту майже не ставлять неможливе обмеження на тому давайте розглянемо вищі моменти. Що стосується коефіцієнта спотвореності Пірсона , $X$ ? Це існує з моменту існування центральних моментів і. Корисно знати деякі властивості кумулянтів, зокрема застосування незалежності та тотожного розподілу дає: $\gamma_1 = \frac{\mathbb{E}(X - \mu_X)^3}{\sigma_X^3} = \frac{\kappa_3}{\kappa_2^{3/2}}$ $\sigma_X \neq 0$

κ i (U) = κ i (X + Y) = κ i (X) + κ i (Y) = 2 κ i (X)

$\kappa_i(U) = \kappa_i(X + Y) = \kappa_i(X) + \kappa_i(Y) = 2\kappa_i(X)$

Ця властивість адитивності полягає саме в узагальненні того, як ми мали справу зі середнім значенням та дисперсією вище - дійсно, перший та другий кумулянти - це лише та . $\kappa_1 = \mu$ $\kappa_2 = \sigma^2$

Тоді і . Фракція для скасовує вихід $\kappa_3(U) = 2\kappa_3(X)$ $\big(\kappa_2(U)\big)^{3/2} = \big(2\kappa_2(X)\big)^{3/2} = 2^{3/2} \big(\kappa_2(X)\big)^{3/2}$ $\gamma_1$ . Оскільки рівномірний розподіл має нульовий нахил, так і, але я не можу побачити, як виникає суперечність цього обмеження. $\text{Skew}(U) = \text{Skew}(X + Y) = \text{Skew}(X) / \sqrt{2}$ $X$

Тож замість цього спробуємо зайвий куртоз . Подібним аргументом (це питання є самостійним вивченням, тому спробуйте!), Ми можемо показати, що це існує і підкоряється: $\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{\kappa_2^2} = \frac{\mathbb{E}(X - \mu_X)^4}{\sigma_X^4} - 3$

Kurt (U) = Kurt (X + Y) = Kurt (X) / 2

$\text{Kurt}(U) = \text{Kurt}(X + Y) = \text{Kurt}(X) / 2$

Рівномірний розподіл має надлишок куртозу тому нам потрібно, щоб у був надлишковий куртоз . Але найменший можливий надлишок куртозу , що досягається $-1.2$ $X$ $-2.4$ $-2$ Поширення Бернуллі. $\text{Binomial}(1, \frac{1}{2})$

— Срібна рибка
джерело

(+1) This is a quite clever approach, which was new to me. Thanks. Note that some of your analysis could have been streamlined by considering a uniform centered at zero. (The equivalence of the problem is immediate.) That would have immediately told you that considering skew was a dead-end.

— cardinal

@cardinal: I knew the skew was a dead-end before I worked on it. The purpose was expository: it's a self-study question so I didn't want to solve it in full! Rather I wanted to leave a hint on how to deal with the next level up...

— Silverfish

@cardinal: I was in two minds whether to center or not. I did back-of-envelope calculations more conveniently, but in the final analysis we just need (1) a simple case of the general result that

Kurt(X1+...+Xn)=1nKurt(X) $Kurt(X_1 + ... + X_n) = \frac{1}{n}Kurt(X)$ for iid

Xi $X_i$ , (2) that

Kurt(U)=−1.2 $Kurt(U) = -1.2$ for any uniform distribution, and (3)

Kurt(X) $Kurt(X)$ exists since

X $X$ is bounded and

σX≠0 $\sigma_X \neq 0$ (which is trivial, else

σU=0 $\sigma_U = 0$ ). So none of the key results actually required centering, though bits may have looked less ugly!

— Silverfish

Yes, the word "streamlined" was carefully chosen. :-) I did not intend my comment to be read as criticism of your exposition. Cheers.

— cardinal

@cardinal Incidentally, variance considerations alone almost worked, but the uniform isn't quite spread out enough. With a bit more probability mass nearer the extremes, e.g.

fT(t)=12t2 $f_T(t)=12t^2$ on [-0.5, 0.5], then

Var(T)=.15 $Var(T)=.15$ and if

T=X1+X2 $T = X_1 + X_2$ then

σX=.15/2−−−−√≈0.27>0.25 $\sigma_X = \sqrt{.15/2} \approx 0.27 > 0.25$ which is impossible as

X $X$ is bounded by -0.25 and 0.25. Of course, you will see immediately how this relates to the present example! I wonder if the approach generalises, I'm sure other bounded RVs can't be decomposed into sums but require even higher moments investigated to find the contradiction.

— Silverfish