Що може бути прикладом дійсно простої моделі з непереборною ймовірністю?

Орієнтовна обчислення Байєса - це дійсно класна методика підгонки в основному будь-якої стохастичної моделі, призначена для моделей, де ймовірність не виправдана (скажімо, ви можете зробити вибірку з моделі, якщо ви фіксуєте параметри, але не можете чисельно, алгоритмічно чи аналітично обчислити ймовірність). При впровадженні аудиторії приблизних байєсівських обчислень (ABC) приємно використовувати модель прикладу, яка насправді є простою, але все-таки дещо цікавою і яка має непереборну ймовірність.

Що може бути хорошим прикладом дійсно простої моделі, яка все ще має непереборну ймовірність?

— Rasmus Bååth
джерело

Приклад вашого шкарпетки справді простий і здебільшого нерозбірливий ...

— Сіань

Ps: Приклад прикладу шкарпеток ...

— Сіань

Ну, я сподівався, що шкарпетки будуть нерозборливими, але ви довели, що це не так, правда? :)

— Rasmus Bååth

Це гарне запитання! У літературі є різні приклади іграшок, але вони мені здаються трохи штучними. Було б непогано мати дійсно просту модель, мотивовану реальною програмою з нерозбірливою ймовірністю. Здається, я пам’ятаю, як бачив Девіда Кокса, що він щось представляв, але я не бачив, щоб це було опубліковане ...

— Денніс Прангл

Відповіді:

Два літератури, які багато використовуються в літературі:

Розподіл g-і-k. Це визначається його кількісною функцією (зворотний cdf), але має незламну щільність. Rayner and MacGillivray (2002) є хорошим оглядом їх, і однією з багатьох робіт ABC, які використовують його як приклад іграшки, є Drovandi та Pettitt (2011) .
Альфа-стабільні розподіли. Вони визначаються своєю характерною функцією, але мають непридатну щільність, за винятком пари спеціальних випадків. Це має застосування у фінансах і часто використовується в послідовних роботах ABC, наприклад Yildirim et al (2013) .

— Денніс Прангл
джерело

Розподіл g-і-k є дуже хорошим прикладом, коли квантильну функцію легко виразити, тоді як функція ймовірності взагалі недоступна: Розподілення стійкі менш просто пояснити новачкам.

Q (u; A, B, g, k) = A + B [1 + c \frac{1 - \exp {- g Φ (u)}}{1 + \exp {- g Φ (u)}}] {1 + Φ (u)^{2}}^{k} Φ (u)

$Q(u;A,B,g,k)=A + B\left[1+c\dfrac{1-\exp\{-g\Phi(u)\}}{1+\exp\{-g\Phi(u)\}}\right]\{1+\Phi(u)^2\}^k\Phi(u)$

α

$\alpha$

— Сіань

Чи міг би хто-небудь додати приклади ситуацій, які можна моделювати за допомогою цих розподілів?

— здогадки

Один із прикладів, до яких я прийшов кілька тижнів тому, і дуже схожий на його простоту, є наступним: заданий початковий звичайний набір даних

x_{1}, \dots, x_{n} \overset{iid}{\sim} N (θ, σ^{2}),

$x_1,\ldots,x_n\stackrel{\text{iid}}{\sim}\text{N}(\theta,\sigma^2)\,,$ повідомлені дані складаються (на жаль!) з двовимірного резюме

що недостатньо іне має щільності суглоба закритої форми.

S (x_{1}, \dots, x_{n}) = (med (x_{1}, \dots, x_{n}), mad (x_{1}, \dots, x_{n})),

$S(x_1,\ldots,x_n)=(\text{med}(x_1,\ldots,x_n),\text{mad}(x_1,\ldots,x_n))\,,$

— Сіань
джерело

Тільки тому, що щільність суглобів складно записати, це не означає, що вона не має закритої форми! "Нерозбірливий" починає здаватися питанням думки в цій темі. Можливо, ви могли б це зрозуміти, пояснивши, що ви маєте на увазі під "непорушним"?

— whuber

Оскільки я не маю нікого, хто може обчислити цю щільність, я називаю це незрозумілим ... Оскільки у мене немає комп'ютерної програми, яка могла б визначити числове значення такої ймовірності, я змушений використовувати алгоритм ABC.

— Сіань

L (θ | x_{1}, \dots, x_{n})

$L(\theta|x_1,\ldots,x_n)$

\times

$\times$

@whuber Я думаю, що ваша інтерпретація (2) в коментарі, що починається "Що мені цікаво", принаймні, по суті, не задумане. Однак я не розумію вашого останнього зауваження, "якщо ваш алгоритм ABC не потребує тривалого часу для виконання" - справа в тому, що дорогого оцінювання ймовірності вдасться уникнути, використовуючи замість нього ABC.

— Juho Kokkala