Коваріація та незалежність?

54

Я читаю з мого підручника, що не гарантує, що X і Y незалежні. Але якщо вони незалежні, їх коваріація повинна бути 0. Я ще не міг придумати жодного належного прикладу; хтось міг би її надати? $\text{cov}(X,Y)=0$

independence covariance

— Літаюча свиня
джерело

10

Також вам може сподобатися короткий огляд квартету Anscombe , який ілюструє деякі з різних способів, за допомогою яких двовимірний набір даних може реалізувати певну ненульову коваріацію.

— whuber

7

Варто зазначити, що міра коваріації - це міра лінійності. Обчислення коваріації відповідає на питання "Чи формують дані прямий шаблон?" Якщо дані йдуть за лінійною схемою, вони залежать. АЛЕ, це лише один із способів залежності даних. Це як запитати "Я їзжу безрозсудно?" Одне питання може бути: "Ви подорожуєте на 25 миль / год через обмеження швидкості?" Але це не єдиний спосіб їхати безрозсудно. Ще одне питання може бути: "Ти п'яний?" і т. д. Існує не один спосіб керувати безрозсудно.

— Адам

Так звана міра лінійності надає структуру відносинам. Важливо, щоб відносини були нелінійними, що не є рідкістю. Як правило, коваріація не дорівнює нулю, вона гіпотетична. Коваріація вказує на величину, а не на відношення,

— Subhash C. Davar

48

Простий приклад: Нехай - випадкова величина, яка дорівнює або з вірогідністю 0,5. Тоді нехай - випадкова величина, така що якщо , а випадково або з ймовірністю 0,5, якщо . $X$ $-1$ $+1$ $Y$ $Y=0$ $X=-1$ $Y$ $-1$ $+1$ $X=1$

Очевидно, що і сильно залежать (оскільки знання дозволяє мені прекрасно знати ), але їх коваріація дорівнює нулю: вони обоє мають нульове значення, і $X$ $Y$ $Y$ $X$

\begin{aligned} E [X Y] & = & (- 1) & \cdot & 0 & \cdot & P (X = - 1) \\ + & 1 & \cdot & 1 & \cdot & P (X = 1, Y = 1) \\ + & 1 & \cdot & (- 1) & \cdot & P (X = 1, Y = - 1) \\ = & 0. \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}[XY] &=&(-1) &\cdot &0 &\cdot &P(X=-1) \\ &+& 1 &\cdot &1 &\cdot &P(X=1,Y=1) \\ &+& 1 &\cdot &(-1)&\cdot &P(X=1,Y=-1) \\ &=&0. }$

Або загалом, візьміть будь-який розподіл і будь-який такий, що для всіх (тобто спільного розподілу, який симетричний навколо осі ), і ви завжди матимете нульову коваріацію. Але у вас виникне незалежність, коли ; тобто не всі умови дорівнюють граничним. Або дитто для симетрії навколо осі . $P(X)$ $P(Y|X)$ $P(Y=a|X) = P(Y=-a|X)$ $X$ $x$ $P(Y|X) \neq P(Y)$ $y$

— дзвінка
джерело

32

Ось приклад, який я завжди даю студентам. Візьміть випадкову змінну з і , наприклад нормальну випадкову змінну з нульовим середнім. Візьміть . Зрозуміло, що і споріднені, але $X$ $EX=0$ $EX^3=0$ $Y=X^2$ $X$ $Y$

c o v (X, Y) = E X Y - E X \cdot E Y = E X^{3} = 0.

$cov(X,Y)=EXY-EX\cdot EY=EX^3=0.$

— mpiktas
джерело

Мені подобається і той приклад. Як окремий випадок, N (0,1) rv і chi2 (1) rv є некорельованими.

— окрам

3

+1, але в якості другорядного нітпіка вам потрібно припустити, що окремо (це не випливає з припущення про симетрію розподілу або з ), так що ми не матимуть таких питань, як розробляють форму . І я вибагливий про @ ocram - й затвердження , що « N (0,1) с.в. і chi2 (1) с.в. некоррелірованні.» (наголос додано) Так, і є некорельованими, але не будь-які і випадкові величини .

E [X^{3}] = 0

$E[X^3] = 0$

E [X] = 0

$E[X] = 0$

E [X^{3}]

$E[X^3]$

\infty - \infty

$\infty - \infty$

X \sim N (0, 1)

$X \sim N(0,1)$

X^{2} \sim χ^{2} (1)

$X^2 \sim \chi^2(1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

— Діліп Сарват

@DilipSarwate, дякую, я відповідно відредагував свою відповідь. Коли я це написав, то хоч про звичайні змінні, для них нульовий третій момент випливає з нульової середньої.

— mpiktas

19

На зображенні нижче (джерело Вікіпедія ) є ряд прикладів третього ряду, зокрема перший та четвертий приклад мають сильну залежність, але 0 кореляція (і 0 коваріантність).

введіть тут опис зображення

— штука101
джерело

15

У деяких інших прикладах розглянемо точки даних, які утворюють коло або еліпс, коваріація дорівнює 0, але знаючи x ви звужуєте y до 2 значень. Або дані в квадраті чи прямокутнику. Також дані, що утворюють X або V, або ^ або <або>, дадуть коваріацію 0, але не є незалежними. Якщо y = sin (x) (або cos) і x охоплює ціле число, кратне з періодів, то cov буде дорівнює 0, але знаючи x ви знаєте y або принаймні | y | у випадках еліпса, x, <і>.

— Грег Сніг
джерело

1

Що якщо має бути "якщо x охоплює ціле число, кратне з періодів, що починаються на піку чи корито", або загальніше: "Якщо x охоплює інтервал, на якому y симетрично"

— naught101