R-квадрат у квантильній регресії

Я використовую квантильну регресію, щоб знайти прогнози 90-х відсотків моїх даних. Я роблю це в R, використовуючи quantregпакет. Як я можу визначити для квантильної регресії, яка вказуватиме на скільки змінності пояснюються прогнозні величини?$r^2$

Що я дійсно хочу знати: "Будь-який метод, який я можу використовувати, щоб знайти, скільки змінності пояснюється?". Рівні значущості за значеннями P доступні в виході команди: summary(rq(formula,tau,data)). Як я можу отримати корисність?

Коенкер і Мачадо описують R $^{[1]}$$R^1$ , локальну міру корисності придатності до конкретного ( ) квантиля.$\tau$

$V(\tau) = \min_{b}\sum \rho_\tau(y_i-x_i'b)$

Нехай і - оцінки коефіцієнтів для повної моделі та обмежена модель, і нехай і буде відповідні терміни. ~ β (τ) V ~ V$\hat{\beta}(\tau)$$\tilde{\beta}(\tau)$$\hat{V}$$\tilde{V}$$V$

Вони визначають корисність критерію придатності .$R^1(\tau) = 1-\frac{\hat{V}}{\tilde{V} }$

Koenker надає код для тут ,$V$

rho <- function(u,tau=.5)u*(tau - (u < 0))
V <- sum(rho(f$resid, f$tau))

Отже, якщо ми обчислимо для моделі лише з перехопленням ( - або в фрагменті коду нижче), а потім з необмеженою моделлю ( ), ми можемо обчислити це - принаймні умовно - дещо схожий на звичайний .~ V V R $V$$\tilde{V}$V0$\hat{V}$R1 <- 1-Vhat/V0$R^2$

Редагувати: У вашому випадку, звичайно, другий аргумент, який буде розміщено там, де f$tauє виклик у другому рядку коду, буде залежно від значення, яке tauви використовували. Значення в першому рядку просто встановлює значення за замовчуванням.

"Пояснення розбіжності щодо середньої величини" насправді не те, що ви робите з кількісною регресією, тому не варто сподіватися на дійсно еквівалентну міру.

Я не думаю, що концепція добре перекладається на кількісну регресію. Ви можете визначити різні більш-менш аналогічні величини, як тут, але незалежно від того, що ви вибрали, ви не матимете більшості властивостей, які має реальна в регресії OLS. Потрібно чітко визначити, які саме властивості вам потрібні, а які - ні, у деяких випадках можливо встановити міру, яка робить те, що ви хочете.R $R^2$$R^2$

-

$[1]$ Koenker, R and Machado, J (1999),
Добрість придатності та пов'язані з ними процеси висновків для квантильної регресії,
Журнал Американської статистичної асоціації, 94 : 448, 1296-1310

Міра псевдо- запропонована Коенкером та Мачадо (1999) в JASA, вимірює корисність, порівнюючи суму зважених відхилень для моделі інтересу з тією самою сумою від моделі, в якій відображається лише перехоплення. Він розраховується як$R^2$

де - пристосований й квантил для спостереження , а - пристосоване значення від перехоплення лише модель.тя ˉ у =& beta$\hat y_i =\alpha_{\tau}+\beta_{\tau}x$$\tau$$i$$\bar y=\beta_{\tau}$

[ 0 , 1 ] τ R $R_1(\tau)$ повинен лежати в , де 1 відповідатиме ідеальному придатності, оскільки чисельник, який складається із зваженої суми відхилень, дорівнюватиме нулю. Це локальна міра придатності для QRM, оскільки вона залежить від , на відміну від глобального від OLS. Це, мабуть, джерело попереджень про його використання: якщо модель укладається в хвіст, немає гарантії, що вона добре вписується в іншому місці. Цей підхід також може бути використаний для порівняння вкладених моделей.$[0,1]$$\tau$$R^2$

Ось приклад в R:

library(quantreg)
data(engel)

fit0 <- rq(foodexp~1,tau=0.9,data=engel)
fit1 <- rq(foodexp~income,tau=0.9,data=engel)

rho <- function(u,tau=.5)u*(tau - (u < 0))
R1 <- 1 - fit1$rho/fit0$rho

Можливо, це можна зробити більш елегантно.