Генерування значень при багатоваріантному гауссовому розподілі

В даний час я намагаюся моделювати значень $N$ - мірної випадкової величини , що має багатовимірне нормальний розподіл із середнім вектор і ковариационная матриця . $X$ $\mu = (\mu_1,...,\mu_N)^T$ $S$

Я сподіваюся використовувати методику , аналогічну методу зворотного CDF, а це означає , що я хочу , щоб спочатку створити - мірний рівномірна випадкова величина , а потім підключити , що в зворотному КОР цього розподілу, так , щоб генерувати значення . $N$ $U$ $X$

У мене виникають проблеми, оскільки процедура недостатньо задокументована і є невеликі відмінності між функцією mvnrnd в MATLAB та описом, який я знайшов у Вікіпедії .

У моєму випадку я також вибираю параметри розподілу випадковим чином. Зокрема, я кожен із засобів, , з рівномірного розподілу . Потім будую коваріаційну матрицю використовуючи наступну процедуру: $\mu_i$ $U(20,40)$ $S$

Створіть нижню трикутну матрицю $L$ де $L(i,i) = 1$ для $i=1..N$ і $L(i,j) = U(-1,1)$ для $i < j$
Нехай $S = LL^T$ , де $L^T$ позначає транспонування $L$ .

Ця процедура дозволяє мені переконатися, що $S$ симетричний і позитивно визначений. Він також забезпечує нижню трикутну матрицю $L$ так що $S = LL^T$ , що, на мою думку, потрібно для отримання значень з розподілу.

Використовуючи вказівки у Вікіпедії, я повинен мати можливість генерувати значення $X$ використовуючи $N$ розмірну форму, як описано нижче:

$X = \mu + L * \Phi^{-1}(U)$

Відповідно до функції MATLAB, зазвичай, це робиться як:

$X = \mu + L^T * \Phi^{-1}(U)$

Де є зворотним ВВР з - мірного, роз'ємні, нормального розподілу, і єдина відмінність між обома методами просто використовувати чи або . $\Phi^{-1}$ $N$ $L$ $L^T$

MATLAB чи Wikipedia шлях? Або обидва помиляються?

— Берк У.
джерело

Як було сказано, обидва помиляються, оскільки

- вектор рядків, тоді як

повинен бути векторним стовпцем. Коли ви випрямляєте свої рядки та стовпці, на це питання слід відповісти просто, визначивши, яку версію

або

μ

$\mu$

T * i n v n o r m (U)

$T * invnorm(U)$

(X - μ)^{'} (X - μ)

$(X-\mu)'(X-\mu)$

(X - μ) (X - μ)^{'}

$(X-\mu)(X-\mu)'$ дає матрицю і яка версія дає тільки номер: перевірте , що ви можете вирахувати математичне очікування матриці версії , і що це дає

S

$S$

— whuber

@whuber Yeap. Внесли зміни у форматування запитання. Дякую за пораду - безумовно, найпростіший спосіб перевірити.

— Берк У.

Якщо являє собою вектор - стовпець стандартного нормального RV, а потім , якщо встановити , ковариация є . $X \sim \mathcal{N}(0,I)$ $Y = L X$ $Y$ $L L^T$

Я думаю, що проблема, яка виникає у вас, може виникнути через те, що функція mvnrnd matlab повертає вектори рядків у вигляді зразків, навіть якщо ви вказуєте середнє значення як вектор стовпця. наприклад,

 > size(mvnrnd(ones(10,1),eye(10))  
 > ans =
 >      1    10

І зверніть увагу, що перетворення вектору рядків дає вам протилежну формулу. якщо - вектор рядка, то також є вектором рядків, тому - вектор стовпця, а коваріація може бути записана . $X$ $Z = X L^T$ $Z^T = L X^T$ $Z^T$ $E[Z^TZ] = LL^T$

Виходячи з того, що ви написали , хоча, формула Вікіпедії вірна: якщо були вектор рядок , яка повертається MATLAB, ви не можете лівої помножити його на . (Але право множення на дало б вам вибірку з такою ж коваріацією ). $\Phi^{-1}(U)$ $L^T$ $L^T$ $LL^T$

— дзвінок
джерело

N

$N$

D

$D$

N

$N$

D

$D$

N \times D

$N \times D$