Як можна знайти середнє значення суми залежних змінних?

Я знаю, що середнє значення суми незалежних змінних є сумою засобів кожної незалежної змінної. Чи стосується це і залежних змінних?

Очікування (прийняття середнього) - лінійний оператор .

$\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$$X$$Y$

Ми можемо узагальнити (наприклад, за допомогою індукції ) так, що $\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)$ тих пір, поки існує кожне очікування $\mathbb{E}(X_i)$ .

$\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$$\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$ де$\mathrm{Cov}$ -коваріаціязмінних.

TL; ДР:
Якщо припустити, що воно існує, середнє значення - це очікуване значення, а очікуване значення - інтеграл, а інтеграли мають властивість лінійності щодо сум.

$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$$E(Y_n)$$\mathbf X$$n$$f_{\mathbf X}(\mathbf x)= f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$$D = S_{X_1} \times ...\times S_{X_n}$

$$E[Y_n] = \int_D Y_nf_{\mathbf X}(\mathbf x)d\mathbf x$$

$n$

$$E[Y_n] = \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}\Big[\sum_{i=1}^n X_i\Big]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

і використовуючи лінійність інтегралів, на які ми можемо розкластись

$$= \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \; + ...\\ ...+\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_nf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

$n$

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n = \\\int_{S_{X_1}}x_1\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_2}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_2...dx_ndx_1$$

і взагалі

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_j}}...\int_{S_{X_1}}x_jf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_j...dx_n =$$ $$=\int_{S_{X_j}}x_j\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_{j-1}}}\int_{S_{X_{j+1}}}...\int_{S_{X_1}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_{j-1}dx_{j+1}......dx_ndx_j$$

$n$$n$$\int_{S_{X_j}}x_jf_{X_j}(x_j)dx_j$

Об’єднавши все це, ми приїжджаємо

$$E[Y_n ] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1}(x_1)dx_1 +...+\int_{S_{X_n}}x_nf_{X_n}(x_n)dx_n$$

Але тепер кожен простий інтеграл - це очікуване значення кожної випадкової величини окремо, так

$$E[\sum_{i=1}^n X_i] = E(X_1) + ...+E(X_n)$$ $$= \sum_{i=1}^nE(X_i)$$

Зауважте, що ми ніколи не посилалися на незалежність чи незалежність випадкових змінних, але працювали виключно з їх спільним розподілом.