Як би ви пояснили коваріантність тому, хто розуміє лише середину?

... припускаючи, що я в змозі інтуїтивно збільшити свої знання про дисперсію ( розуміння "дисперсії" ) або кажучи: це середня відстань значень даних від "середнього" - а оскільки дисперсія знаходиться у квадраті одиниць, беремо квадратний корінь, щоб зберегти одиниці однакові, і це називається стандартним відхиленням.

Припустимо, що це багато сформульовано і (сподіваємось) зрозуміло "приймачем". Тепер, що таке коваріація, і як би пояснити це простою англійською мовою без використання математичних термінів / формул? (Тобто, інтуїтивне пояснення.;)

Зверніть увагу: я знаю формули та математику, що стоїть за цією концепцією. Я хочу вміти «пояснити» те саме, що легко зрозуміти, не включаючи математику; тобто що означає "коваріація"?

Іноді ми можемо «поповнювати знання» незвичним чи іншим підходом. Я хотів би, щоб ця відповідь була доступною для дітей-садівників, а також повеселилась, тому всі вийдіть з вашими олівцями!

Давши парні дані, намалюйте їх розсіювач. (Молодшим школярам може знадобитися вчитель, щоб виготовити це для них. :-) Кожна пара точок , у цій ділянці визначає прямокутник: це найменший прямокутник, сторони якого паралельні до осі, що містять ці точки. Таким чином, точки знаходяться у верхньому правому та нижньому лівому кутах («позитивне» співвідношення), або вони знаходяться у верхньому лівому та нижньому правому кутах («негативне» співвідношення).$(x,y)$$(x_i,y_i)$$(x_j,y_j)$

Намалюйте всі можливі такі прямокутники. Пофарбуйте їх прозоро, зробивши позитивні прямокутники червоними (скажімо), а негативні прямокутники - «червоними» (синіми). У такий спосіб, де прямокутники перекриваються, їх кольори або посилюються, коли вони однакові (синій і синій, або червоний і червоний), або скасовуються, коли вони різні.

( На цій ілюстрації позитивного (червоного) та негативного (синього) прямокутника перекриття повинно бути білим; на жаль, це програмне забезпечення не має справжнього "анти-червоного" кольору. Накладка сіра, тому темніє сюжет, але загалом чиста кількість червоного кольору є правильною. )

Тепер ми готові до пояснення коваріації.

Коваріація - це чиста кількість червоного на ділянці (трактування синього кольору як негативних значень).

Ось кілька прикладів із 32 бінормальними точками, отриманими з розподілів із заданими коваріаціями, упорядкованими від більшості негативних (найсильніших) до більшої позитивних (червоніших).

Їх малюють на загальних осях, щоб зробити їх порівняльними. Прямокутники злегка окреслені, щоб допомогти вам їх бачити. Це оновлена ​​(2019) версія оригіналу: вона використовує програмне забезпечення, яке належним чином скасовує червоний та блакитний кольори у прямокутних перекриттях.

Виведемо деякі властивості коваріації. Розуміння цих властивостей буде доступне кожному, хто фактично намалював декілька прямокутників. :-)

• Біліарність. Оскільки кількість червоного кольору залежить від розміру ділянки, коваріація прямо пропорційна шкалі на осі x та шкалі на осі y.

• Кореляція. Коваріація збільшується, коли точки наближаються до похилої лінії вгору і зменшується, оскільки точки наближаються до похилої лінії вниз. Це тому, що в першому випадку більшість прямокутників є позитивними, а в другому - більшістю.

• Зв'язок з лінійними асоціаціями. Оскільки нелінійні асоціації можуть створювати суміші позитивних і негативних прямокутників, вони призводять до непередбачуваних (і не дуже корисних) коваріацій. Лінійні асоціації можна повністю інтерпретувати за допомогою попередніх двох характеристик.

• Чутливість до людей, що вижили. Геометрична зовнішня частина (одна точка, що стоїть подалі від маси) створить багато великих прямокутників у поєднанні з усіма іншими точками. Це лише може створити чисту позитивну чи негативну кількість червоного кольору в загальній картині.

До речі, це визначення коваріації відрізняється від звичайного лише універсальною константою пропорційності (незалежною від розміру набору даних). Математично нахилені не матимуть проблем з алгебраїчною демонстрацією того, що формула, наведена тут, завжди вдвічі перевищує звичайну коваріацію.

Для детального пояснення свого коментаря я вчив коваріації як міри (середньої) спів-варіації між двома змінними, скажімо, і .$x$$y$

Корисно згадати основну формулу (просту для пояснення, не потрібно говорити про математичні тривалості для вступного курсу):

щоб ми чітко бачили, що кожне спостереження може позитивно чи негативно сприяти коваріації залежно від добутку їх відхилення від середнього значення двох змінних та . Зауважте, що я не кажу тут про величину, а просто про ознаку внеску i-го спостереження.$(x_i,y_i)$$\bar x$$\bar y$

Це те, що я зобразив на наступних схемах. Штучні дані були створені за допомогою лінійної моделі (ліворуч, ; праворуч, , де були з гауссового розподілу з нульовим середнім значенням і , і від рівномірного розподілу на проміжку ).$y = 1.2x + \varepsilon$$y = 0.1x + \varepsilon$$\varepsilon$$\text{SD}=2$$x$$[0,20]$

Вертикальні та горизонтальні смуги представляють середнє значення та відповідно. Це означає, що замість "перегляду окремих спостережень" з походження ми можемо це зробити з . Це просто означає переклад на осі x і y. У цій новій системі координат кожне спостереження, розташоване у верхньому правому або нижньому лівому квадранті, позитивно сприяє коваріації, тоді як спостереження, розташовані в двох інших квадрантах, сприяють цьому негативно. У першому випадку (зліва) коваріація дорівнює 30.11, а розподіл у чотирьох квадрантах наведено нижче:$x$$y$$(0,0)$$(\bar x, \bar y)$

   +  -
+ 30  2
-  0 28

Зрозуміло, що коли значення вище їх середнього значення, то зробіть відповідні (wrt. ). Око-сальники форми 2D хмара точок, коли значення збільшення значення , як правило , теж зростає. (Але пам’ятайте, ми могли б також використати той факт, що між коваріацією та нахилом лінії регресії існує чітка залежність, тобто .)$x_i$$y_i$$\bar y$$x$$y$$b=\text{Cov}(x,y)/\text{Var}(x)$

У другому випадку (справа, той самий ) коваріація дорівнює 3,54, а розподіл по квадрантах є більш "однорідним", як показано нижче:$x_i$

   +  -
+ 18 14
- 12 16

Іншими словами, існує збільшена кількість випадків, коли 'і ' не коваріють в одному напрямку wrt. їхні засоби.$x_i$$y_i$

Зауважте, що ми могли б зменшити коваріацію шляхом масштабування або чи . На лівій панелі коваріація (або ) зменшується на десять разів (3.01). Оскільки одиниці вимірювання та поширення і (відносно їхніх засобів) ускладнюють інтерпретацію значення коваріації в абсолютних величинах, ми зазвичай масштабуємо обидві змінні за їх стандартними відхиленнями і отримуємо коефіцієнт кореляції. Це означає, що крім перецентрування нашого розсіювача наy ( x / 10 , y ) ( x , y / 10 ) x y ( x , y ) ( ˉ x , ˉ y ) x $x$$y$$(x/10,y)$$(x,y/10)$$x$$y$$(x,y)$$(\bar x, \bar y)$ми також масштабуємо одиницю x- і y з точки зору стандартного відхилення, що призводить до більш інтерпретованої міри лінійної коваріації між і .$x$$y$

Коваріація - це міра того, наскільки одна змінна піднімається вгору, коли інша йде вгору.

Я маю в відповідь на мій власний питання, але я думав , що це було б здорово для людей , які приїжджають на цей пост , щоб перевірити деякі з пояснень на цій сторінці .

Я перефразую одну з дуже чітко сформульованих відповідей (користувачем 'Zhop'). Я роблю це в тому випадку, якщо цей веб-сайт закривається або його знімають, коли хтось із цього часу отримує доступ до цієї публікації;)

Коваріація - це міра того, наскільки дві змінні змінюються разом. Порівняйте це з Варіантом - це лише діапазон, за який змінюється одна міра (або змінна).

Вивчаючи соціальні зразки, ви можете висунути гіпотезу, що заможніші люди, ймовірно, будуть більш освіченими, тому ви спробуєте побачити, наскільки ретельно вимірюють багатство та освіту. Ви б використали міру коваріації для визначення цього.

...

Я не впевнений, що ви маєте на увазі, коли ви запитуєте, як це стосується статистики. Це одна міра, яку вивчають у багатьох класи статистики. Ви мали на увазі, коли ви повинні його використовувати?

Ви використовуєте його, коли хочете побачити, наскільки дві чи більше змінних змінюються відносно один одного.

Подумайте про людей у ​​команді. Подивіться, як вони різняться за географічним розташуванням порівняно один з одним. Коли команда грає або тренується, відстань між окремими членами дуже мала, і ми б сказали, що вони знаходяться в одному місці. І коли їх місце розташування змінюється, воно змінюється для всіх людей разом (скажімо, поїздки в автобусі на гру). У цій ситуації ми б сказали, що вони мають високий рівень коваріації. Але коли вони не грають, то коефіцієнт коваріації, ймовірно, буде досить низьким, оскільки всі вони ходять в різні місця з різною швидкістю.

Таким чином, ви можете передбачити місце розташування одного члена команди, виходячи з місця розташування іншого члена команди, коли він тренується або грає в гру з високим ступенем точності. Я вважаю, що вимірювання коваріації буде близьким до 1. Але коли вони не тренуються і не грають, у вас буде набагато менший шанс передбачити місце розташування однієї людини, виходячи з місця розташування члена команди. Це, мабуть, буде близьким до нуля, хоча і не до нуля, оскільки іноді члени команди будуть друзями та можуть разом поїхати місцями разом.

Однак якщо ви вибрали випадковим чином людей у ​​Сполучених Штатах і спробували використати одного з них, щоб передбачити місце розташування інших, ви, мабуть, виявили, що коваріація дорівнює нулю. Іншими словами, абсолютно не існує зв'язку між місцезнаходженням однієї випадково вибраної людини в США та іншим.

Додавання ще одного (від "CatofGrey"), який допомагає посилити інтуїцію:

У теорії ймовірностей та статистиці коваріація - це міра того, наскільки дві випадкові величини різняться разом (на відміну від дисперсії, яка вимірює, наскільки змінюється одна змінна).

Якщо дві змінні, як правило, різняться разом (тобто коли одна з них перевищує очікувану величину, то інша змінна також має значення вище її очікуваного значення), тоді коваріація між двома змінними буде позитивною. З іншого боку, якщо одна з них перевищує очікувану величину, а інша змінна, як правило, нижче її очікуваного значення, то коваріація між двома змінними буде негативною.

Ці двоє разом змусили мене зрозуміти коваріантність, як я ніколи цього не розумів! Просто дивовижно!!

Мені дуже подобається відповідь Вюбера, тому я зібрав ще трохи ресурсів. Коваріація описує як далеко поширені змінні, так і характер їх взаємозв'язку.

Коваріація використовує прямокутники, щоб описати, наскільки далеко знаходиться спостереження від середнього на графіку розкидання:

• Якщо прямокутник має довгі сторони та велику ширину або короткі сторони та коротку ширину, це свідчить про те, що дві змінні рухаються разом.

• Якщо у прямокутника є дві сторони, відносно довгі для цих змінних, і дві сторони, відносно короткі для іншої змінної, це спостереження дає свідчення, що змінні не рухаються разом.

• Якщо прямокутник знаходиться у 2-му чи 4-му квадранті, то коли одна змінна більша за середню, інша менша від середньої. Збільшення однієї змінної пов'язане зі зменшенням іншої.

Я знайшов класну візуалізацію цього на http://sciguides.com/guides/covariance/ , Він пояснює, що таке коваріація, якщо ви просто знаєте середню.

Ось ще одна спроба пояснити коваріацію малюнком. Кожна панель на малюнку нижче містить 50 точок, змодельованих з біваріантного розподілу з кореляцією між x & y 0,8 та варіаціями, як показано на мітках рядків та стовпців. Коваріація показана в правому нижньому куті кожної панелі.

Усі, хто зацікавлений в поліпшенні цього ... ось код R:

library(mvtnorm)

rowvars <- colvars <- c(10,20,30,40,50)

all <- NULL
for(i in 1:length(colvars)){
  colvar <- colvars[i]
  for(j in 1:length(rowvars)){
    set.seed(303)  # Put seed here to show same data in each panel
    rowvar <- rowvars[j]
    # Simulate 50 points, corr=0.8
    sig <- matrix(c(rowvar, .8*sqrt(rowvar)*sqrt(colvar), .8*sqrt(rowvar)*sqrt(colvar), colvar), nrow=2)
    yy <- rmvnorm(50, mean=c(0,0), sig)
    dati <- data.frame(i=i, j=j, colvar=colvar, rowvar=rowvar, covar=.8*sqrt(rowvar)*sqrt(colvar), yy)
    all <- rbind(all, dati)
  }
}
names(all) <- c('i','j','colvar','rowvar','covar','x','y')
all <- transform(all, colvar=factor(colvar), rowvar=factor(rowvar))
library(latticeExtra)
useOuterStrips(xyplot(y~x|colvar*rowvar, all, cov=all$covar,
                      panel=function(x,y,subscripts, cov,...){
                        panel.xyplot(x,y,...)
                        print(cor(x,y))
                        ltext(14,-12, round(cov[subscripts][1],0))
                      }))

Мені сподобалася відповідь @whuber - раніше у мене було лише розпливчасте уявлення про те, як можна візуалізувати коваріацію, але ці ділянки прямокутника геніальні.

Однак оскільки формула коваріації передбачає середнє значення, а в початковому запитанні ОП було вказано, що "приймач" розуміє поняття середнього, я подумав, що у мене виникне тріщина при адаптації прямокутника ділянок прямокутника @ whuber для порівняння кожної точки даних з засоби x і y, оскільки це більше відображає те, що відбувається у формулі коваріації. Я думав, що насправді це виглядає досить інтуїтивно:

Синя крапка в середині кожного сюжету - це середнє значення x (x_mean) та середнє значення y (y_mean).

Прямокутники порівнюють значення x - x_mean та y - y_mean для кожної точки даних.

Прямокутник зелений, якщо:

• і x, і y більше, ніж їх відповідні засоби
• і x, і y менше, ніж їх відповідні засоби

Прямокутник червоний, якщо:

• x більше x_mean, але y менше y_mean
• x менше x_mean, але y більше y_mean

Коваріація (і кореляція) може бути як сильно негативною, так і сильно позитивною. Коли в графіку переважає один колір більше, ніж інший, це означає, що дані здебільшого мають послідовну схему.

• Якщо графік має набагато більше зеленого, ніж червоного, це означає, що y, як правило, збільшується при збільшенні х.
• Якщо графік має набагато більше червоного, ніж зеленого, це означає, що y зазвичай зменшується, коли х збільшується.
• Якщо в графіку не переважає один чи інший колір, це означає, що не так багато шаблону, як х і у співвідносяться один з одним.

Фактичне значення коваріації для двох різних змінних x і y, в основному, є сумою всієї зеленої площі за мінусом усієї червоної площі, потім ділиться на загальну кількість точок даних - фактично середня зелена-проти-почервоніння графіка .

Як це звучить / виглядає?

Варіантність - ступінь, в якій випадкова довільна зміна щодо її очікуваного значення Внаслідок стохастичної природи основного процесу, яку представляє випадкова величина.

Коваріація - це ступінь, коли дві різні випадкові величини змінюються відносно один одного. Це може статися, коли випадкові змінні керуються тим самим основним процесом або його похідними. Або процеси, представлені цими випадковими змінними, впливають один на одного, або це той самий процес, але одна з випадкових змінних походить від іншої.

Я б просто пояснив кореляцію, яка є досить інтуїтивно зрозумілою. Я б сказав, "Кореляція вимірює міцність взаємозв'язку між двома змінними X і Y. Кореляція між -1 і 1 і буде близькою до 1 за абсолютною величиною, коли зв'язок є сильним. Коваріація - це лише кореляція, помножена на стандартні відхилення дві змінні. Отже, хоча кореляція є безрозмірною, коваріація є у добутку одиниць для змінної X та змінної Y.

Дві змінні, які мали б високу позитивну коваріацію (кореляцію), - це кількість людей у ​​кімнаті та кількість пальців, які знаходяться в кімнаті. (Зі збільшенням кількості людей ми також очікуємо, що кількість пальців збільшиться.)

Щось, що може мати негативну коваріацію (кореляцію), - це вік людини та кількість волосяних фолікулів на голові. Або кількість зіт на обличчі людини (у певній віковій групі) та кількість побачень у них за тиждень. Ми очікуємо, що люди, які мають більше років, мають менше волосся, а люди, які мають більше прищів, мають менше побачень. Це негативно корелює.