Випробування на коінтеграцію між двома часовими рядами за допомогою двотактного методу Енгл-Грейнджера

Я прагну перевірити коінтеграцію між двома часовими рядами. Обидві серії мають щотижневі дані тривалістю ~ 3 роки.

Я намагаюсь зробити метод Енгл-Грейнджера в два кроки. Мій порядок операцій слідує.

1. Тестуйте кожен часовий ряд на корінь одиниці за допомогою доповненого Dickey-Fuller.
2. Якщо припустити, що обидва мають одиничне коріння, то знайдіть лінійне наближення відношення за допомогою OLS. Потім створіть ряд залишків.
3. Тестуйте залишки для кореня одиниці за допомогою доповненого Dickey-Fuller.
4. Завершіть коінтеграцію (чи ні) за результатами 3.

Запитання:

1. Чи добре виглядає цей метод? (Я студент, і я прагну аналізувати свої дані законним шляхом, а не обов'язково аналізувати їх найсуворішим відомим методом.)
2. Якщо одна серія не може відкинути нульову гіпотезу з ADF (і, отже, не має одиничного кореня) на кроці 1, чи обґрунтовано зробити висновок, що ці два ряди не є спільно інтегрованими, оскільки один набір даних нестаціонарний? Я б не думав так, але хочу бути впевненим.
3. Обидва набори даних виглядають "стохастично", тому мені цікаво, чи доцільно використовувати OLS для вимірювання взаємозв'язку, щоб отримати залишки.

Перш за все розглянемо два часові ряди, і x 2 t, обидва - I ( 1 ) , тобто обидва ряди містять одиничний корінь. Якщо ці дві серії коінтегруються, тоді існуватимуть коефіцієнти, μ і β 2 такі, що: $x_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\mu$$\beta_{2}$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+u_{t}\quad\left(1\right)$ $\\$

визначить рівновагу. Для того щоб протестувати на коінтеграцію, використовуючи 2-ступінковий підхід Енгл-Грейнджера

$\\$ 1) Перевірте ряд, і х 2 т для одиничних коренів. Якщо обидва єI ( 1 ), тоді переходимо до кроку 2).$x{}_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$

$\\$ 2) Запустіть вищевказане рівняння регресії та збережіть залишки. Я визначаю новий «виправлення помилок» .$\hat{u}_{t}=\hat{ecm}_{t}$

$\\$ 3) Перевірте залишки ( ) на одиничний корінь. Зауважимо, що цей тест є таким же, як і тест на відсутність коінтеграції, оскільки за нульовою гіпотезою залишки не є нерухомими. Якщо ж є коінтеграція, залишки повинні бути нерухомими. Пам’ятайте, що розподіл для залишкового тесту ADF не такий, як звичайний розподіл DF і буде залежати від величини оцінених параметрів у статичній регресії, наведеної вище, оскільки додаткові змінні в статичній регресії змістять розподіли DF на зліва. 5% критичних значень для одного оціненого параметра в статичній регресії з постійною та тенденцією відповідно - -3,34 та -3,78. $\hat{ecm}_{t}$$\\$

4) Якщо ви відхилите нуль одиничного кореня в залишках (null no-cointegration), то ви не можете відхилити, що дві змінні коінтегруються. $\\$

5) Якщо ви хочете створити модель виправлення помилок і дослідити довгострокові відносини між двома серіями, я б рекомендував вам скоріше встановити модель ADL або ECM, оскільки до неї додано невеликий зразок зміщення, приєднаний до Engle- Статична регресія Грейнджера, і ми нічого не можемо сказати про значення оцінюваних параметрів у статичній регресії, оскільки розподіл залежить від невідомих параметрів. Відповісти на ваші запитання: 1) Як ви бачили вище, ви правильний метод. Я просто хотів зазначити, що критичні значення тестів на основі залишкових тестів не є такими ж, як звичайні критичні значення тесту ADF. $\\$

$\\$

$I\left(0\right)$$I\left(1\right)$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+\varepsilon_{1t}\quad\left(2\right)$

$\Delta x_{2t}=\varepsilon_{2t}\quad\left(3\right)$

$\varepsilon_{2t}\sim i.i.d.$$x_{1t}\sim I\left(1\right)$$x_{2t}\sim I\left(1\right)$$u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$\varepsilon_{1t}\sim i.i.d.$

$\\$

$\left(3\right)$$\\$

$x_{2t}=x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$ $\\$

$\left(2\right)$$\\$

$x_{1t} =\mu+\beta_{2}\left\{ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}\right\} +\varepsilon_{1t} x_{1t} =\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}$ $\\$

$\beta=\left(1\;-\beta_{2}\right)\prime$$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\left(1\;-\beta_{2}\right)\left(\begin{array}{c} \mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}\\ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i} \end{array}\right)$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}-\beta_{2} x_{0}-\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\varepsilon_{1t}$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$x_{1t}$$I\left(0\right)$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\\$

$\\$

$\left(1\right)$$T^{-2}$$I\left(1\right)$$I\left(1\right)$