Створіть симетричну позитивну певну матрицю із заздалегідь заданим малюнком обмеженості

Я намагаюся генерувати кореляційну матрицю (симетричний psd) із заздалегідь заданою структурою sparsity (заданою графіком на вузлах). Вузли, які з'єднані на графіку, мають кореляцію , решта всі - 0, а діагональ - 1.$p\times p$$p$$\rho \sim U(0,1)$

Я кілька разів намагався створити цю матрицю, але лише рідко отримую дійсну кореляційну матрицю.

Чи є спосіб, за допомогою якого я можу запевнити кореляційну матрицю whp? Зауважте, що я можу мати лише позитивну кореляцію, тому тощо не є варіантом.$\rho \sim U(-1,1)$

Будь-яка допомога дуже вдячна!

Закрийте, але жодної сигари для @Rodrigo de Azevedo.

Рішення полягає у використанні напіввизначеного програмування, щоб знайти максимальне значення, $\rho_{max}$, і мінімальне значення (за умови, що воно не має негативного значення), $\rho_{min}$, оф $\rho$таким, що матриця кореляції із заданою схемою спарності є позитивною напівдефінітом (psd). Усі значення$\rho$ такий як $\rho_{max}\le \rho \le \rho_{max}$, створить матриці psd (вправа для читача)

Тому ви повинні або вибрати розподіл $\rho$ який може приймати лише значення в $[\rho_{max},\rho_{max}]$або ви повинні використовувати прийняття / відхилення та відхиляти будь-які створені значення $\rho$ які не виробляють PSD-матрицю.

Приклад для матриці 4 на 4 з використанням YALMIP під MATLAB

sdpvar rho % declare rho to be a scalar variable
% find maximum value of rho (by minimizing -rho) subject to prescribed matrix being psd.
optimize([1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,-rho) 
% find minimum value of rho subject to prescribed matrix being psd and rho being >= 0.
optimize([[1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,rho >= 0],rho) 

Результати: максимум rho = 0,57735, мінімальний rho = 0. Легко очевидно, що нуль буде мінімальним значенням rho за умови, що rho не буде негативним, а призначена матриця psd, незалежно від розмірності та шаблону розрідженості. Тому зайвим є проведення напіввизначеної оптимізації, щоб знайти мінімальне негативне значення$\rho$.

Кореляційна матриця симетрична, позитивна напівдефінітна і має $1$на головній діагоналі. Можна знайти$n \times n$кореляційна матриця шляхом розв’язання наступної напіввизначеної програми (SDP), де об'єктивна функція є довільною, скажімо, нульовою функцією

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$$

Якщо у вас є додаткові обмеження, такі як обмеження обмеженості

$$x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]$$

і негативні обмеження, $\mathrm X \geq \mathrm O_n$, тоді вирішується наступний СДП

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]\\ & \mathrm X \geq \mathrm O_n\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$$

---

А $3 \times 3$ приклад

Припустимо, ми хочемо мати $x_{13} = 0$ і $x_{12}, x_{23} \geq 0$. Ось сценарій MATLAB + CVX ,

cvx_begin sdp

    variable X(3,3) symmetric

    minimize( trace(zeros(3,3)*X) )
    subject to

        % put ones on the main diagonal
        X(1,1)==1
        X(2,2)==1
        X(3,3)==1

        % put a zero in the northeast and southwest corners
        X(1,3)==0

        % impose nonnegativity
        X(1,2)>=0
        X(2,3)>=0

        % impose positive semidefiniteness
        X >= 0

cvx_end

Запустивши сценарій,

Calling sedumi: 8 variables, 6 equality constraints
------------------------------------------------------------
SeDuMi 1.21 by AdvOL, 2005-2008 and Jos F. Sturm, 1998-2003.
Alg = 2: xz-corrector, Adaptive Step-Differentiation, theta = 0.250, beta = 0.500
eqs m = 6, order n = 6, dim = 12, blocks = 2
nnz(A) = 8 + 0, nnz(ADA) = 36, nnz(L) = 21
 it :     b*y       gap    delta  rate   t/tP*  t/tD*   feas cg cg  prec
  0 :            3.00E+000 0.000
  1 : -1.18E-001 6.45E-001 0.000 0.2150 0.9000 0.9000   1.86  1  1  1.2E+000
  2 : -6.89E-004 2.25E-002 0.000 0.0349 0.9900 0.9900   1.52  1  1  3.5E-001
  3 : -6.48E-009 9.72E-007 0.097 0.0000 1.0000 1.0000   1.01  1  1  3.8E-006
  4 : -3.05E-010 2.15E-009 0.000 0.0022 0.9990 0.9990   1.00  1  1  1.5E-007
  5 : -2.93E-016 5.06E-015 0.000 0.0000 1.0000 1.0000   1.00  1  1  3.2E-013

iter seconds digits       c*x               b*y
  5      0.3   5.8  0.0000000000e+000 -2.9302886987e-016
|Ax-b| =  1.7e-015, [Ay-c]_+ =  6.1E-016, |x|= 2.0e+000, |y|= 1.5e-015

Detailed timing (sec)
   Pre          IPM          Post
1.563E-001    2.500E-001    1.094E-001    
Max-norms: ||b||=1, ||c|| = 0,
Cholesky |add|=0, |skip| = 0, ||L.L|| = 1.
------------------------------------------------------------
Status: Solved
Optimal value (cvx_optval): +0

Подивимося, яке рішення знайдено CVX,

>> X

X =

    1.0000    0.4143         0
    0.4143    1.0000    0.4143
         0    0.4143    1.0000

Чи є ця матриця позитивною напівдекітністю? Позитивний певний?

>> rank(X)

ans =

     3

>> eigs(X)

ans =

    1.5860
    1.0000
    0.4140

Це позитивно, як і очікувалося. Ми можемо знайти позитивні матриці кореляції напіввизначених, вибравши ненульову (лінійну) цільову функцію.