Оцініть масу фруктів у пакетику лише з суміжних підсумків?

Викладач мого університету поставив таке запитання (не для домашніх завдань, оскільки закінчився клас, і я не був у ньому). Я не можу зрозуміти, як підійти до цього.

Питання стосується 2 пакетиків, кожен з яких містить асортимент різних видів фруктів:

Перший мішок містить наступні випадково відібрані фрукти:

+ ------------- + -------- + --------- +
| діаметр см | маса г | гнилий? |
+ ------------- + -------- + --------- +
| 17.28 | 139.08 | 0 |
| 6.57 | 91.48 | 1 |
| 7.12 | 74.23 | 1 |
| 16.52 | 129.8 | 0 |
| 14.58 | 169.22 | 0 |
| 6.99 | 123.43 | 0 |
| 6.63 | 104,93 | 1 |
| 6.75 | 103.27 | 1 |
| 15.38 | 169.01 | 1 |
| 7.45 | 83.29 | 1 |
| 13.06 | 157.57 | 0 |
| 6.61 | 117,72 | 0 |
| 7.19 | 128,63 | 0 |
+ ------------- + -------- + --------- +

Другий мішок містить 6 випадково відібраних фруктів з того ж магазину, що і перший мішок. Сума їх діаметрів - 64,2 см, 4 - гнилі.

Дайте оцінку на масу другого мішка.

Я бачу, що, здається, є два різних фрукти з нормально розподіленими діаметрами і масами, але я втрачений, як діяти.

Почнемо з побудови даних і поглянемо на них. Це дуже обмежений обсяг даних, тому це буде дещо ad hoc з великою кількістю припущень.

rotten <- c(0,1,1,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0)
rotten <- as.factor(rotten)
mass <- c(139.08, 
        91.48,
        74.23,
        129.8,
        169.22,
        123.43,
        104.93,
        103.27,
        169.01,
        83.29,
        157.57,
        117.72,
        128.63)
diam <- c(17.28,
        6.57,
        7.12,
        16.52,
        14.58,
        6.99,
        6.63,
        6.75,
        15.38,
        7.45,
        13.06,
        6.61,
        7.19)

plot(mass,diam,col=rotten,lwd=2)
title("Fruits")

Отже, це дані, червоні крапки - це гнилі плоди:

Ви вірно вважаєте, що існує два види фруктів. Я висловлюю такі припущення:

• Діаметр розбиває плоди на дві групи
• Плоди діаметром більше 10 відносяться до однієї групи, інші до меншої групи.
• У великій фруктовій групі є лише один гнилий плід. Припустимо, що якщо плід є у великій групі, то гниття не впливає на вагу. Це важливо, оскільки у нас є лише одна точка даних у цій групі.
• Якщо плід невеликий плід, то гниття впливає на масу.
• Припустимо, що змінні diam і маса звичайно розподіляються.

Оскільки дано, що сума діаметра - 64,2 см, то, швидше за все, два плоди великі, а чотири - маленькі. Зараз є 3 випадки для ваги. Згнили 2, 3 або 4 маленьких плода (( великий гнилий плід не припускає маси на припущення ). Тож тепер ви можете отримати межі вашої маси, обчисливши ці значення.

Ми можемо емпірично оцінити ймовірність кількості гнилих дрібних плодів. Ми використовуємо ймовірності, щоб зважити свої оцінки маси, залежно від кількості гнилих плодів:

samps <- 100000
stored_vals <- matrix(0,samps,2)
for(i in 1:samps){
  numF <- 0 # Number of small rotten
  numR <- 0 # Total number of rotten
  # Pick 4 small fruits
  for(j in 1:4){
    if(runif(1) < (5/8)){ # Empirical proportion of small rotten
      numF <- numF + 1
      numR <- numR + 1
    } 
  }
  # Pick 2 large fruits
  for(j in 1:2){
    if(runif(1) < 1/5){# Empirical proportion of large rotten
      numR <- numR + 1
    }
  }
  stored_vals[i,] <- c(numF,numR)
}

# Pick out samples that had 4 rotten
fourRotten <- stored_vals[stored_vals[,2] == 4,1]
hist(fourRotten)

table(fourRotten)

# Proportions 
props <- table(fourRotten)/length(fourRotten)

massBig <- mean(mass[diam>10])
massSmRot <- mean(mass[diam<10 & rotten == 1])
massSmOk <- mean(mass[diam<10 & rotten == 0])

weights <- 2*massBig + c(2*massSmOk+2*massSmRot,1*massSmOk+3*massSmRot,4*massSmRot)

Est_Mass <- sum(props*weights) 

Давши нам остаточну оцінку 691,5183г . Я думаю, що ви повинні зробити більшість припущень, які я зробив, щоб дійти висновку, але я думаю, що це можливо зробити розумнішим чином. Також я емпірично беру пробу, щоб отримати ймовірність кількості гнилих дрібних плодів, тобто це лінь і це можна зробити "аналітично".

Я б запропонував такий підхід:

1. Створіть усі 6-кортежі, які відповідають умовам на 4 гнилих. Вони .${6\choose 4}{7\choose 2}$
2. Виберіть із створених кортежів лише ті, які відповідають умові по діаметру.
3. Обчисліть середню вагу вибраних кортежів (звичайне середнє арифметичне).

Все це можна керувати простим сценарієм.

Кілька підходів включають, від найпростішого до складного,

1. 6 (середня маса)
2. 6 (середній об'єм) (середня густина)
3. 4 (середня гнила маса) + 2 (середня негнила маса)
4. 4 ((середній гнилий об'єм) + 2 (середній об'єм гнилого)) (середня густина)
5. 4 (середній гнильний об'єм) (середня густа гниль) + 2 (середній негнилий об'єм) (середня непрогнила щільність)

. . .

комбінаторні методи

Підходи розташовуються в порядку простоти обчислення, а не в тому, щоб будь-який підхід був кращим або взагалі був хорошим. Вибір того, який підхід використовувати, залежить від того, які характеристики населення відомі чи припускаються. Наприклад, якщо маса фруктів серед населення магазину зазвичай розподіляється і не залежить від діаметрів та стану гнилі, можна використовувати перший, найпростіший підхід без будь-яких переваг (або навіть недоліків помилки вибірки декількох змінних) використання більш складних підходів . Якщо не є незалежними однаково розподіленими випадковими змінними, то складніший вибір залежно від відомої чи припущеної інформації про сукупність може бути кращим.