Чи вірогідні кореляції ймовірностей помилок I та II типу?

11

У класі елементарної статистики, для якого я був TA, професор заявив, що зі збільшенням ймовірності помилки I типу збільшується ймовірність помилки II типу , а також навпаки. Отже, це говорить про те, що . $\alpha$ $\beta$ $\rho_{\alpha, \beta} < 0$

Але як би це довести для загальної перевірки гіпотез? Чи твердження взагалі вірно?

Я можу спробувати конкретний випадок (скажімо, та ), але очевидно, що це недостатньо загально, щоб вирішити це питання. $H_0: \mu = \mu_0$ $H_1: \mu < \mu_0$

probability hypothesis-testing type-i-and-ii-errors

— Кларнетист
джерело

13

Ці величини ( і ) не є випадковими величинами, тому я вагаюся говорити про їх співвідношення Пірсона; Я не впевнений, у якому сенсі це було б застосовано. $\alpha$ $\beta$

Ці два негативно пов'язані в тому сенсі, що, розумно кажучи (але див. Нижче *) - і інші речі (наприклад, розмір вибірки та розмір ефекту, при якому ви обчислюєте ), рівні - якщо змінити , то перемістить протилежний напрямок (конкретно, у типових ситуаціях, є функцією ; вкажіть достатню кількість, щоб визначити і це буде залежати від - і це відношення в більшості розумних ситуацій буде таким, яке ви хочете використовувати в фактичний тест - бути негативно залежним). $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$

Розглянемо, наприклад, деяку криву потужності. Переміщення підштовхуватиме криву потужності ( ) вгору чи вниз з нею, тому в деяку точку кривої (яка є відстань між кривою та 1) зменшується зі збільшенням . Ось приклад з двосхилим тестом (скажімо, t-тест). $\alpha$ $1-\beta$ $\beta$ $\alpha$

введіть тут опис зображення

Однобічний випадок подібний, але ви орієнтуєтесь на праву половину наведеної вище картини (дві криві в лівій половині малюнка будуть хвостиком до нуля)

* Є деякі ситуації, коли це не повинно бути таким. Розглянемо тестування на рівномірність (0,1) за допомогою тесту Колмогорова-Смірнова.

Розглянемо можливість того, що натомість у нас є рівномірний на (або, дійсно, будь-який розподіл з деякою ймовірністю поза одиничним інтервалом). $(0,1+\epsilon)$ $^\dagger$

Якщо я спостерігаю значення, яке не лежить в (0,1), тест Колмогорова-Смірнова не обов'язково відкидає нуль. Але я можу зробити другий тест (назвемо це тест KS *), який подібний Колмогорову-Смирнову, за винятком того, що коли ми спостерігаємо значення поза (0,1), ми також відкидаємо нуль незалежно від того, звичайна статистика чи ні досягає критичного значення.

Тоді для будь-якої альтернативи, яка має будь-яку ймовірність поза (0,1), ми знизили коефіцієнт помилок типу II (у порівнянні з звичайним тестом KS), не змінюючи взагалі. $\alpha$

(як правило, це не ідеальна ідея використання KS у такому випадку, тому якщо ви знаєте, що це можливість, вам потрібно добре подумати про альтернативи) $\dagger$

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

3

Нехай позначає спостереження з щільністю або згідно гіпотези або істинно. Нехай і позначають області рішення . Таким чином, , і рішення полягає в тому, що є істинним iff $X$ $f_0(x)$ $f_1(x)$ $H_0$ $H_1$ $\Gamma_0$ $\Gamma_1$ $\Gamma_0 \cap \Gamma_1 = \emptyset$ $\Gamma_0 \cup \Gamma_1 = \mathbb R$ $H_i$ . Тоді ймовірності помилок типу I та типу II - $X \in \Gamma_i$ Розглянемо двііншіобласті рішення та такі, що та. Тепер

\begin{aligned} (1) & П (Помилка I типу) & = \int_{Γ_{1}} f_{0} (x) d x \\ (2) & P (Type II error) & = \int_{Γ_{0}} f_{1} (x) d x . \end{aligned}

$\begin{align} P(\text{Type I error}) &= \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx\tag{1}\\ P(\text{Type II error}) &= \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align}$

Γ_{0}^{'}

$\Gamma_0^\prime$

Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1^\prime$

Γ_{1} \subset Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1 \subset \Gamma_1^\prime$

Γ_{0}^{'} \subset Γ_{0}

$\Gamma_0^\prime \subset \Gamma_0$

оскільки інтеграл перебуває над більшим набором, що означає, що нове правило рішення має більшу ймовірність помилки типу I. Але зауважте також, що

\int_{Γ_{1}^{'}} f_{0} (х) г х \geq \int_{Γ_{1}} f_{0} (х) г х

$\int_{\Gamma_1^\prime}f_0(x)\,\mathrm dx \geq \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx$

оскільки інтеграл знаходиться над меншим набором, і тому нове правило рішення має меншу ймовірність помилок типу II.

\int_{Γ_{0}^{'}} f_{1} (х) г х \leq \int_{Γ_{0}} f_{1} (х) г х

$\int_{\Gamma_0^\prime}f_1(x)\,\mathrm dx \leq \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx$

— Діліп Сарват
джерело

1

$\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$

$\alpha$ $\beta$

— Корт Аммон
джерело

1

"Взаємовідносини тільки" - здається, хвостовий кінець вашої відповіді був відрізаний?

— Срібна рибка