Що таке асимптотична матриця коваріації?

Чи правда, що асимптотична матриця коваріації дорівнює матриці коваріації оцінок параметрів? Якщо ні, то що це? І яка різниця між коваріаційною матрицею і асимптотичною матрицею коваріації в цьому випадку? Спасибі заздалегідь!

covariance asymptotics

— Леслі
джерело

Асимптотична матриця коваріації - це наближення до матриці коваріації розподілу вибірки оцінок параметрів, що покращується, оскільки кількість вибірок, на яких засновані оцінки параметрів, збільшується.

— чакраварти

З огляду на зразок з параметричного розподілу з щільністю , є невідомим параметром, оцінювач має розподіл із середнім та дисперсійно-коваріаційною матрицею . Отже - матриця дисперсії-коваріації у тому сенсі, що $(X_1,\ldots,X_N)$ $f_\theta(\cdot)$ $\theta$ $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$ $\mu_n(\theta)$ $\Sigma_n(\theta)$ $\Sigma_n(\theta)$ $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$

Е_{θ} [{\hat{θ} (Х_{1}, \dots, Х_{N}) - {мк}_{н} (θ)} {\hat{θ} (Х_{1}, \dots, Х_{N}) - {мк}_{н} (θ)}^{Т}] = Σ_{н} (θ) .

$\mathbb{E}_\theta\left[ \left\{\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)-\mu_n(\theta)\right\} \left\{\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)-\mu_n(\theta)\right\}^{\text{T}} \right] = \Sigma_n(\theta)\,.$

Тепер, якщо - конвергентний оцінювач, і якщо існує обмежувальний розподіл для , це означає, що існує послідовність збільшується до , наприклад, , так що де позначає розподіл, індексований і обмежуючий розподіл lhs. Цей обмежуючий розподіл має дисперсію , тобто називається асимптотичною дисперсією. $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$ $\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)$ $(\phi_n)$ $+\infty$ $\phi_n=\sqrt{n}$

ϕ_{н} {\hat{θ} (Х_{1}, \dots, Х_{N}) - {мк}_{н} (θ)} \overset{dist}{⟶} Г_{θ}

$\phi_n\left\{\hat{\theta}(X_1,\ldots,X_N)-\mu_n(\theta)\right\}\stackrel{\text{dist}}{\longrightarrow} G_\theta$

G_{θ}

$G_\theta$

θ

$\theta$

Ξ_{θ}

$\Xi_\theta$

— Сіань
джерело

Чому ви говорите «напр

ϕ_{n} = \sqrt{n}

$\phi_n=\sqrt n$ "Чи не слід так бути завжди?

\sqrt{n}

$\sqrt n$ ?

— user56834

Є оцінки, які сходяться швидше або повільніше, ніж

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ наприклад, Єдиний .

— Сіань