У мене є дані з наступної експериментальної конструкції: мої спостереження - це підрахунок кількості успіхів ( K) від відповідної кількості випробувань ( N), виміряних для двох груп, що складаються з Iіндивідуумів, з Tметодів лікування, де у кожній такій факторній комбінації є Rповтори . Отже, я маю 2 * I * T * R K 's та відповідні N ' s.
Дані з біології. Кожна людина - це ген, для якого я вимірюю рівень експресії двох альтернативних форм (через явище, яке називається альтернативним сплайсингом). Отже, K - рівень вираження однієї з форм, а N - сума рівнів вираження двох форм. Вибір між двома формами в одній вираженій копії вважається експериментом Бернуллі, отже, K з Nкопії слід двочлен. Кожна група складається з ~ 20 різних генів, і гени в кожній групі мають певну загальну функцію, яка відрізняється між двома групами. Для кожного гена в кожній групі маю ~ 30 таких вимірювань з кожної з трьох різних тканин (лікування). Хочу оцінити вплив групи та лікування на дисперсію K / N.
Відомо, що експресія гена є наддисперсною, отже, використання негативного біноміулу в наведеному нижче коді.
Наприклад, Rкод імітованих даних:
library(MASS)
set.seed(1)
I = 20 # individuals in each group
G = 2 # groups
T = 3 # treatments
R = 30 # replicates of each individual, in each group, in each treatment
groups = letters[1:G]
ids = c(sapply(groups, function(g){ paste(rep(g, I), 1:I, sep=".") }))
treatments = paste(rep("t", T), 1:T, sep=".")
# create random mean number of trials for each individual and
# dispersion values to simulate trials from a negative binomial:
mean.trials = rlnorm(length(ids), meanlog=10, sdlog=1)
thetas = 10^6/mean.trials
# create the underlying success probability for each individual:
p.vec = runif(length(ids), min=0, max=1)
# create a dispersion factor for each success probability, where the
# individuals of group 2 have higher dispersion thus creating a group effect:
dispersion.vec = c(runif(length(ids)/2, min=0, max=0.1),
runif(length(ids)/2, min=0, max=0.2))
# create empty an data.frame:
data.df = data.frame(id=rep(sapply(ids, function(i){ rep(i, R) }), T),
group=rep(sapply(groups, function(g){ rep(g, I*R) }), T),
treatment=c(sapply(treatments,
function(t){ rep(t, length(ids)*R) })),
N=rep(NA, length(ids)*T*R),
K=rep(NA, length(ids)*T*R) )
# fill N's and K's - trials and successes
for(i in 1:length(ids)){
N = rnegbin(T*R, mu=mean.trials[i], theta=thetas[i])
probs = runif(T*R, min=max((1-dispersion.vec[i])*p.vec[i],0),
max=min((1+dispersion.vec)*p.vec[i],1))
K = rbinom(T*R, N, probs)
data.df$N[which(as.character(data.df$id) == ids[i])] = N
data.df$K[which(as.character(data.df$id) == ids[i])] = K
}
Мені цікаво оцінити вплив, який група та лікування мають на дисперсію (або дисперсію) ймовірностей успіху (тобто K/N). Тому я шукаю відповідний glm, у якому відповідь є K / N, але крім моделювання очікуваного значення відповіді моделюється також дисперсія відповіді.
Очевидно, що на різницю ймовірності двобічного успіху впливає кількість випробувань та основна ймовірність успіху (чим більша кількість випробувань і тим більш екстремальною є основна ймовірність успіху (тобто, біля 0 або 1), тим нижче відхилення ймовірності успіху), тому мене головним чином цікавить внесок групи та лікування, що перевищує кількість випробувань та основні ймовірності успіху. Я думаю, що перетворення квадратного кореня арцина у відповідь усуне останнє, але не таке кількість випробувань.
Хоча в модельованому прикладі дані, наведені вище конструкції, врівноважені (однакова кількість осіб у кожній з двох груп та однакова кількість копій у кожній особі від кожної групи в кожному лікуванні), у моїх реальних даних це не так - дві групи не мають рівної кількості осіб і кількість повторів змінюється. Крім того, я думаю, що людину слід встановити як випадковий ефект.
Позначення дисперсії вибірки проти середньої вибірки прогнозованої ймовірності успіху (позначається як p hat = K / N) кожного окремого ілюструє, що екстремальні ймовірності успіху мають меншу дисперсію:
Це усувається, коли оцінені ймовірності успіху трансформуються за допомогою стабілізації стабілізації дисперсії у квадратному корінні дуги (позначається як arcsin (sqrt (p hat)):
Графік вибіркової дисперсії трансформованої оціночної ймовірності успіху проти середнього N показує очікуване негативне співвідношення:
Графік вибіркової дисперсії трансформованої оціночної ймовірності успіху для двох груп показує, що група В має дещо більші дисперсії, тому я моделював дані:
Нарешті, побудова вибіркової дисперсії трансформованої оціночної ймовірності успіху для трьох методів лікування не показує різниці між методами лікування, тому я моделював дані:
Чи існує якась форма узагальненої лінійної моделі, за допомогою якої я можу кількісно оцінити групу та вплив лікування на дисперсію ймовірностей успіху?
Можливо, гетероскедастична узагальнена лінійна модель чи якась форма логічної лінійної дисперсії?
Щось у рядках моделі, яка моделює Варіантність (у) = Zλ на додаток до E (y) = Xβ, де Z і X є регресорами середнього значення та дисперсії відповідно, що в моєму випадку буде ідентичним і включає лікування (рівні t.1, t.2 і t.3) і групи (рівні a і b), і, ймовірно, N і R, і, отже, λ і β оцінюватимуть їх відповідні ефекти.
Альтернативно, я міг би прилаштувати модель до варіантів вибірки через реплікації кожного гена з кожної групи в кожному лікуванні, використовуючи glm, який моделює лише очікуване значення відповіді. Єдине питання тут - як врахувати той факт, що різні гени мають різну кількість реплік. Я думаю, що ваги в ГЛМ могли б пояснити це (зразкові відхилення, засновані на більшій кількості копій, повинні мати більшу вагу), але які саме ваги слід встановити?
Примітка. Я спробував використовувати dglmпакет R:
library(dglm)
dglm.fit = dglm(formula = K/N ~ 1, dformula = ~ group + treatment, family = quasibinomial, weights = N, data = data.df)
summary(dglm.fit)
Call: dglm(formula = K/N ~ 1, dformula = ~group + treatment, family = quasibinomial,
data = data.df, weights = N)
Mean Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.09735366 0.01648905 -5.904138 3.873478e-09
(Dispersion Parameters for quasibinomial family estimated as below )
Scaled Null Deviance: 3600 on 3599 degrees of freedom
Scaled Residual Deviance: 3600 on 3599 degrees of freedom
Dispersion Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 9.140517930 0.04409586 207.28746254 0.0000000
group -0.071009599 0.04714045 -1.50634107 0.1319796
treatment -0.001469108 0.02886751 -0.05089138 0.9594121
(Dispersion parameter for Gamma family taken to be 2 )
Scaled Null Deviance: 3561.3 on 3599 degrees of freedom
Scaled Residual Deviance: 3559.028 on 3597 degrees of freedom
Minus Twice the Log-Likelihood: 29.44568
Number of Alternating Iterations: 5
Ефект групи за даними dglm.fit є досить слабким. Цікаво, чи правильно встановлена модель чи потужність цієї моделі.