Допоможіть мені зрозуміти скориговане співвідношення шансів у логістичній регресії

Мені важко намагатися зрозуміти використання логістичної регресії в роботі. Доступний тут документ використовує логістичну регресію для прогнозування ймовірності ускладнень під час операції на катаракті.

Мене бентежить те, що в роботі представлена модель, яка призначає коефіцієнт шансів 1 до базової лінії, описану так:

Пацієнт, чий профіль ризику знаходився в референтній групі для всіх показників ризику (тобто скоригований АБО = 1,00 для всіх у таблиці 1), може вважатися таким, що має "базовий профіль ризику", а модель логістичної регресії вказує на "прогнозовану ймовірність базової лінії" для ПЛР або VL або обох = 0,736%.

Отже, ймовірність 0,00736 представлена зі співвідношенням шансів 1. Виходячи з перетворення від коефіцієнта ймовірності в коефіцієнт шансів: $o=\frac{p}{1-p}$ , це не може бути дорівнює 1: $0.00741=\frac{0.00736}{1-0.00736}$ .

Це стає ще більш заплутаним. Для обчислення прогнозованого ризику використовують складені коефіцієнти шансів, що представляють собою декілька коваріатів, що мають значення, відмінні від базових.

... складений АБО з Таблиці 1 буде 1,28 X 1,58 X 2,99 X 2,46 X 1,45 X 1,60 = 34,5, а з графіку на малюнку 1 ми бачимо, що це АБО відповідає прогнозованій ймовірності ПЛР або VL або обох близько 20%

Єдиний спосіб дійти до значень, які наводить документ у якості прикладів - помножити ймовірність базової лінії на складені шанси на зразок цього: $0.2025=\frac{(34.50\ \times\ 0.00736)}{1\ +\ (34.50\ \times\ 0.00736)}$ .

То що тут відбувається? Яка логіка присвоєння коефіцієнта коефіцієнта 1 імовірності базової лінії, яка не дорівнює 0,5? Формула оновлення, яку я придумав вище, пропонує правильні ймовірності для прикладів у статті, але це не пряме множення коефіцієнта шансів, яке я очікував. Що це тоді?

logistic odds-ratio

— махонія
джерело

У вас може виникнути проста плутанина щодо термінології:

p / (1 - p)

$p/(1-p)$ - це коефіцієнт шансів , а не коефіцієнт. Коефіцієнт шансів - це поділ одного такого виразу на інший.

— whuber

Коефіцієнти - це спосіб висловити шанси. Коефіцієнти шансів якраз такі: один шанс розділений на інший. Це означає, що коефіцієнт шансів - це те, на що ви помножуєте один шанс на отримання іншого. Подивимося, як вони працюють у цій загальній ситуації.

Перетворення між шансами та ймовірністю

Шанси двійкової відповіді $Y$ - відношення шансу, що трапиться (зашифрований $1$ ), записаного $\Pr(Y=1)$ , до шансу цього немає (закодовано з $0$ ), записаного $\Pr(Y=0)$ :

Odds (Y) = \frac{Pr (Y = 1)}{Pr (Y = 0)} = \frac{Pr (Y = 1)}{1 - Pr (Y = 1)} .

$\text{Odds}(Y) = \frac{\Pr(Y=1)}{\Pr(Y=0)} = \frac{\Pr(Y=1)}{1 - \Pr(Y=1)}.$

Еквівалентний вираз справа показує, що достатньо для моделювання щоб знайти шанси. І навпаки, зауважте, що ми можемо вирішити $\Pr(Y=1)$

Pr (Y = 1) = \frac{Odds (Y)}{1 + Odds (Y)} = 1 - \frac{1}{1 + Odds (Y)} .

$\Pr(Y=1) = \frac{\text{Odds}(Y)}{1 + \text{Odds}(Y)} = 1 - \frac{1}{1 + \text{Odds}(Y)}.$

Логістична регресія

Логістична регресія моделює логарифм коефіцієнтів як лінійну функцію пояснювальних змінних. Найбільш загально, записуючи ці змінні як і включаючи можливий постійний член у лінійну функцію, ми можемо назвати коефіцієнти (які слід оцінювати з даних) як і . Формально це виробляє модель $Y$ $x_1, \ldots, x_p$ $\beta_1,\ldots, \beta_p$ $\beta_0$

\log (Odds (Y)) = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{p} x_{p} .

$\log\left(\text{Odds}(Y)\right) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p.$

Самі шанси можна відновити, скасувавши логарифм:

Odds (Y) = \exp (β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{p} x_{p}) .

$\text{Odds}(Y) = \exp(\beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p).$

Використання категоричних змінних

Категоричні змінні, такі як вікова група, стать, наявність глаукоми тощо , включаються за допомогою "фіктивного кодування". Щоб показати, що спосіб кодування змінної не має значення, я наведу простий приклад однієї невеликої групи; його узагальнення на кілька груп повинно бути очевидним. У цьому дослідженні одна змінна - «розмір зіниці», яка містить три категорії: «Великий», «Середній» та «Малий». (Дослідження трактує це як суто категоричне, очевидно, не звертаючи уваги на притаманний їм порядок.) Інтуїтивно, кожна категорія має свої шанси, скажімо, для "Large", для "Середнього" та для "Small" . Це означає, що всі інші речі рівні, $\alpha_L$ $\alpha_M$ $\alpha_S$

Odds (Y) = \exp (α_{L} + β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{p} x_{p})

$\text{Odds}(Y) = \exp(\color{Blue}{\alpha_L + \beta_0} + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p)$

для когось із категорії "Великі",

Odds (Y) = \exp (α_{M} + β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{p} x_{p})

$\text{Odds}(Y) = \exp(\color{Blue}{\alpha_M + \beta_0} + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p)$

для когось із категорії "Середній" та

Odds (Y) = \exp (α_{S} + β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{p} x_{p})

$\text{Odds}(Y) = \exp(\color{Blue}{\alpha_S + \beta_0} + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p)$

для тих, хто в категорії "Малий".

Створення ідентифікуючих коефіцієнтів

Я пофарбував перші два коефіцієнти, щоб виділити їх, тому що я хочу, щоб ви помітили, що вони дозволяють відбутися простої зміни: ми могли вибрати будь-яке число і, додавши його до і віднісши його від кожного з , і , ми б не змінити які - або прогнозні коефіцієнти. Це пояснюється очевидною еквівалентністю форми $\gamma$ $\beta_0$ $\alpha_L$ $\alpha_M$ $\alpha_S$

α_{L} + β_{0} = (α_{L} - γ) + (γ + β_{0}),

$\alpha_L + \beta_0 = (\alpha_L - \gamma) + (\gamma + \beta_0 ),$

І хоча це не представляє проблем для моделі - вона все ще передбачає абсолютно ті самі речі - це показує, що параметри самі по собі не можуть бути інтерпретовані. Те, що ми виконуємо цей маневр додавання-віднімання, - це різниці між коефіцієнтами. Умовно, щоб вирішити цю недостатність ідентифікованості, люди (і за замовчуванням програмне забезпечення) обирають одну з категорій кожної змінної як "базу" або "посилання" і просто зазначають, що її коефіцієнт буде нульовим. Це знімає неоднозначність.

У статті спочатку перераховані довідкові категорії; "Великий" у цьому випадку. Таким чином, віднімається з кожної з і , і додають до , щоб компенсувати. $\alpha_L$ $\alpha_L, \alpha_M,$ $\alpha_S$ $\beta_0$

Коефіцієнт журналу для гіпотетичного індивіда, що потрапляє до всіх базових категорій, тому дорівнює плюс купу термінів, пов'язаних з усіма іншими "коваріатами" - некотегоричними змінними: $\beta_0$

Odds(Base category) = \exp (β_{0} + β_{1} X_{1} + \dots + β_{p} X_{p}) .

$\text{Odds(Base category)} = \exp(\beta_0 + \beta_1X_1 + \cdots + \beta_p X_p).$

Тут не відображаються терміни, пов'язані з будь-якими категоричними змінними. (Я дещо змінив позначення в цей момент: бета тепер є коефіцієнтами лише коваріатів , тоді як повна модель включає альфа для різних категорій.) $\beta_i$ $\alpha_j$

Порівнюючи шанси

Порівняймо шанси. Припустимо, гіпотетична особа - це а

пацієнт чоловічої статі віком 80–89 років з білою катарактою, відсутністю фундаментального вигляду та маленьким вихованцем, яким оперує спеціаліст-реєстратор, ...

$\alpha_\text{80-89}$ $\alpha_\text{male}$

α_{80-89} + α_{male} + α_{no Glaucoma} + \dots + α_{specialist registrar} .

$\alpha_\text{80-89}+\alpha_\text{male}+\alpha_\text{no Glaucoma}+ \cdots + \alpha_\text{specialist registrar}.$

Це саме та сума, на яку шанси журналу цього пацієнта різняться від базового. Щоб конвертувати з журнальних коефіцієнтів, скасуйте логарифм і нагадайте, що це перетворює додавання в множення. Тому базові шанси необхідно помножити на

\exp (α_{80-89}) \exp (α_{male}) \exp (α_{no Glaucoma}) \dots \exp (α_{specialist registrar}) .

$\exp(\alpha_\text{80-89})\exp(\alpha_\text{male})\exp(\alpha_\text{no Glaucoma}) \cdots \exp(\alpha_\text{specialist registrar}).$

$x_1, \ldots, x_p$ $\exp(\alpha_\text{80-89})=1.58$ $\exp(\alpha_\text{male})=1.28$ $\exp(\alpha_\text{no Glaucoma})=1.00$ $34.5$

Odds(Charlie) = 34.5 \times Odds(Base) .

$\text{Odds(Charlie)} = 34.5\times \text{Odds(Base)}.$

$1.00=\exp(0)$ $1$ у продукт залишає його незмінним. Ось так ви можете помітити базові категорії в таблиці.)

Перезавантаження результатів як ймовірностей

$0.736\%=0.00736$

Odds(Base) = \frac{0.00736}{1 - 0.00736} = 0.00741.

$\text{Odds(Base)} = \frac{0.00736}{1 - 0.00736} = 0.00741.$

Отже, шанси Чарлі є

Odds(Charlie) = 34.5 \times 0.00741 = 0.256.

$\text{Odds(Charlie)} = 34.5\times 0.00741 = 0.256.$

Нарешті, перетворення цього назад у ймовірності дає

Pr (Y (Charlie) = 1) = 1 - \frac{1}{1 + 0.256} = 0.204.

$\Pr(Y(\text{Charlie})=1) = 1 - \frac{1}{1 + 0.256} = 0.204.$

— дзижчати
джерело

whuber: стати перед моїм комп’ютером після дуже втомливого попереднього дня і знайти цю надзвичайну відповідь від вас просто геніально. Ви мені дуже допомогли в дуже жорсткій ситуації. Велике дякую. (якось @ whuber не з’явиться…)

— mahonya