Визначення хвостової залежності

Я намагався знайти просте, стисле визначення того, що таке хвостова залежність. Чи може хтось поділитися тим, що він вірить у це.

По-друге, якби я побудував імітацію за допомогою різних копул на графіку, як би я дізнався, які з них виявляють хвостову залежність.

визначення верхньої хвостової залежності rv і Y з відповідними граничними розподілами F і G, є: lim u → 1 P { Y > G - 1 ( u ) | X > F - 1 ( u ) ) = λ u (Embrechts et al. (2001)). Ймовірність того, що Y досягає надзвичайно великих значень, враховуючи, що випадкова величина X досягає надзвичайно великих значень. Звідси можна зрозуміти так, що чим ближче $X$$Y$$\lim_{u \to 1} P\{ Y>G^{-1}(u)|X>F^{-1}(u))=\lambda_u$$\lambda$ до одного, тим тісніший зв'язок між X, що досягає високих значень, і Y, що досягає також великих значень.

Сказати, чи виявляють копули хвостову залежність, не важко в екстремальних випадках: важливо, чи (дві) змінні поводяться більше в кутах графіка, ніж у центрі.

Гапусова копула не має хвостової залежності - хоча випадкові величини сильно корелюються, але, схоже, немає спеціального зв’язку, якась із змінних досягає великих значень (у кутах діаграми).

Відсутність хвостової залежності стає очевидною, коли сюжет порівнюється з графіком симуляцій з тих же маргіналів, але з копулою Т-2.

Т-копули мають хвостову залежність, а залежність зростає з кореляцією і зменшується з кількістю ступенів свободи. Якби більше моделей було імітовано, щоб більша частина одиничного квадрата була покрита, ми майже побачили точки тонку лінію у верхньому правому та нижньому лівому кутах. Але навіть на графіку видно, що у верхньому правому та нижньому лівому квадрантах - тобто там, де обидві змінні досягають дуже низьких чи дуже високих значень - ці дві змінні, здається, ще тісніше співвідносяться, ніж у тілі.

Фінансові ринки, як правило, виявляють хвостову залежність, особливо нижчу хвостову залежність; Наприклад, основні фондові прибутки у звичайний час мають співвідношення приблизно 0,5, але у вересні / жовтні 2008 р. Для деяких пар кореляція перевищувала 0,9 - обидві вони масово падали. Копула Гаусса використовувалася до криз для ціноутворення кредитних продуктів, що надходять, і оскільки вона не враховувала хвостову залежність, вона недооцінювала потенційні втрати, коли багато власників будинків не змогли платити. Виплати домовласників можна розуміти як випадкові величини - і вони виявилися сильно співвіднесеними в той момент, коли у багатьох людей виникли проблеми зі сплатою іпотеки. Оскільки ці дефолти були тісно пов'язані через несприятливий економічний клімат, агаїни виявили хвостову залежність.

PS: Технічно кажучи, зображення показують багатовимірні розподіли, породжені копулами та нормальними маргіналами.

Хвостова залежність - це коли кореляція між двома змінними збільшується в міру того, як ви отримуєте «далі» в хвісті (або обох) розподілу. Порівняйте копулу Клейтона з копулою Франка.

Клейтон залежно від лівого хвоста. Це означає, що коли ви рухаєтесь далі до лівого хвоста (менші значення), змінні стають більш співвіднесеними. Франк (і Гаусс з цього приводу) симетричний. Якщо кореляція дорівнює 0,45, вона становить 0,45 за весь проміжок розподілу.

Економічні системи, як правило, виявляють хвостову залежність. Наприклад, візьміть кредитний ризик перестраховика. Якщо загальні збитки є нормальними, перестраховик А чи перестраховик B за замовчуванням своїх платежів страховику може виглядати некорельованим або дуже слабко корельованим. А тепер уявіть, що трапилася низка жертв (як урагани Ріта, Вільма, Айда тощо). Зараз весь ринок вражає один за одним величезні запити на виплати, що може призвести до проблеми з ліквідністю, з якою зіткнуться багато перестраховиків через масштаб проблеми та одночасні вимоги своїх страхувальників. Їх спроможність платити зараз набагато більше співвідноситься. Це приклад, коли закликається копула з правою хворобою.

Хвостова залежність, принаймні, наскільки я це розумію, пояснювала комусь із обмежених статистичних даних.

Уявіть, у вас є дві змінні, X і Y. По 100 000 спостережень за кожною. Спостереження пов'язані в певному сенсі. Можливо, вони були згенеровані за допомогою копули, або у вас трапляються повернені значення двох сильно корельованих запасів протягом 100 000 періодів часу.

Фактична кількість спостережень, ймовірно, перевищує 10, коли значення для X і Y не є незалежними в хвостах, це ми називаємо хвостовою залежністю .