Інтуїція до вищих моментів у круговій статистиці

У круговій статистиці значення очікування випадкової величини зі значеннями на колі визначається як (див. Вікіпедія ). Це дуже природне визначення, як і визначення дисперсії Тож нам не знадобився другий момент, щоб визначити дисперсію! $Z$ $S$

m_{1} (Z) = \int_{S} z P^{Z} (θ) d θ

$m_1(Z)=\int_S z P^Z(\theta)\textrm{d}\theta$

V a r (Z) = 1 - | m_{1} (Z) | .

$\mathrm{Var}(Z)=1-|m_1(Z)|.$

Тим не менш, ми визначаємо вищі моменти Я визнаю, що це виглядає досить природно, як на перший погляд, і дуже схоже на визначення в лінійній статистиці. Але все-таки я відчуваю себе трохи некомфортно, і маю наступне

m_{n} (Z) = \int_{S} z^{n} P^{Z} (θ) d θ .

$m_n(Z)=\int_S z^n P^Z(\theta)\textrm{d}\theta.$

Запитання:

1. Що вимірюється вищими моментами, визначеними вище (інтуїтивно)? Які властивості розподілу можна охарактеризувати за їх моментами?

2. При обчисленні вищих моментів ми використовуємо множення складних чисел, хоча значення наших випадкових величин ми думаємо лише як вектори в площині або як кути. Я знаю, що складне множення в цьому випадку по суті є доповненням кутів, але все-таки: Чому комплексне множення є значущою операцією для кругових даних?

— Расмус
джерело

Моменти є коефіцієнти Фур'є ймовірнісної заходи . Припустимо (заради інтуїції), що має щільність. Тоді аргумент (кут від у складній площині) має щільність на , а моменти є коефіцієнтами, коли ця щільність розширюється у ряді Фур'є. Таким чином, застосовується звичайна інтуїція про серії Фур'є - вони вимірюють сили частот у цій щільності. $P^Z$ $Z$ $1$ $Z$ $[0,2\pi)$

Що стосується вашого другого запитання, я думаю, ви вже дали відповідь: "складне множення є по суті доповненням кутів у даному випадку".

— Марк Меккес
джерело

Дякую, це справді корисно. (Мені соромно за те, що я не розпізнав серію Фур'є, навіть коли вдарив по ній ...)

— Расмус

Чи означає це, що моменти кругового розподілу слід порівнювати з характерною функцією лінійного розподілу, а не з його моментами?

— Расмус

@Rasmus: Я думаю, це залежить від того, що саме ти хочеш робити з інформацією, але в цілому я б сказав так.

— Марк Меккес