Чи збільшує 10 головок поспіль шанс наступного кидання хвоста?

Я припускаю, що вірно наступне: припускаючи справедливу монету, отримання 10 головок поспіль, під час кидання монети не збільшує шансів, що наступна монета кине хвіст , незалежно від того, яка кількість вірогідності та / або статистичного жаргону кидається навколо (вибачте каламбури).

Якщо припустити, що це так, моє запитання таке: як чорт я переконаю когось у тому?

Вони розумні та освічені, але здаються рішучими не вважати, що я можу бути правим щодо цього (аргумент).

вони намагаються стверджувати, що [...] якщо було 10 голів, то наступна в послідовності швидше буде хвостиком, оскільки статистика говорить, що вона врівноважить в підсумку

Існує лише "балансування" в дуже конкретному сенсі.

Якщо це справедлива монета, то це все одно 50-50 на кожен жеребкування. Монета не може знати свого минулого . Не можна знати, що було надлишок голів. Він не може компенсувати своє минуле. Колись . це просто продовжується випадково, будучи головами або хвостами з постійним шансом на голову.

Якщо - кількість голів у ( - кількість хвостів), для справедливої ​​монети буде прагнути до 1, оскільки переходить до нескінченності .... алене йде до 0. Насправді це також іде до нескінченності! n = n H + n T n T n H / n T n H + n T | n H - n T $n_H$$n=n_H+n_T$$n_T$$n_H/n_T$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

Тобто, нічого не діє, щоб зробити їх рівномірнішими. Підрахунки не прагнуть до "врівноваження". В середньому дисбаланс між кількістю голов і хвостів фактично зростає!

Ось результат 100 комплектів з 1000 кидок, сірі сліди показують різницю в кількості голови мінус кількість хвостів на кожному кроці.

Сірі сліди (представляють ) - випадкова прогулянка Бернуллі. Якщо ви думаєте про частинку, що рухається вгору або вниз по осі y одиничним кроком (випадковим чином з однаковою ймовірністю) на кожному часовому кроці, то розподіл положення частинки буде «дифундувати» від 0 до часу. Він все ще має 0 очікуваного значення, але його очікувана відстань від 0 зростає як квадратний корінь кількості кроків часу. [Примітка для тих, хто думає, " це він говорить про очікувану абсолютну різницю або різницю RMS " - насправді або: для великих перший - 80% від другого.] n $n_H-n_T$$n$$\sqrt{2/\pi}\approx$

Синя крива вгорі - а зелена - . Як бачите, типова відстань між загальними головами та загальними хвостами зростає. Якби щось діяло, щоб «відновити рівність» - «компенсувати» відхилення від рівності - вони, як правило, зазвичай не зростатимуть так. (Це не важко показати це алгебраїчно, але я сумніваюся, що переконає вашого друга. Критична частина полягає в тому, що дисперсія суми незалежних випадкових змінних є сумою дисперсій див. Кінець пов'язаного розділу - кожен Коли ви додаєте ще один монет, ви додаєте постійну суму на дисперсію суми ... тому дисперсія повинна зростати пропорційно до ±2$\pm \sqrt{n}$ <>n$\pm 2\sqrt{n}$ $<$$>$$n$. Отже, стандартне відхилення зростає з . Константа, яка додається до дисперсії на кожному кроці, у цьому випадку буває 1, але це не є вирішальним для аргументу.)$\sqrt{n}$

Еквівалентно, переходить до оскільки загальна кількість кидків йде до нескінченності, але тільки тому, що переходить до нескінченності набагато швидше, ніжробить. 0nH+nT| nH-nT$\frac{|n_H-n_T|}{n_H+n_T}$$0$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

Це означає, що якщо ми розділимо це сукупне підрахунок на$n$ на кожному кроці, воно криве - типова абсолютна різниця в рахунку порядку , але типова абсолютна різниця пропорцій повинна бути на порядок . 1/$\sqrt{n}$$1/\sqrt{n}$

Ось і все, що відбувається. Все більш великі * випадкові відхилення від рівності просто « вимиваються » ще більшим знаменником.

* збільшення типового абсолютного розміру

Дивіться маленьку анімацію в полі, тут

Якщо ваш друг непереконаний, киньте кілька монет. Кожен раз, коли ви скажете три голови поспіль, змушуйте його або її висунути ймовірність голови на наступному жеребкуванні (це менше 50%), який, на його думку, повинен бути справедливим у своїх міркуваннях. Попросіть, щоб вони дали вам відповідні шанси (тобто він повинен бути готовим заплатити трохи більше 1: 1, якщо ви робите ставку на голову, оскільки вони наполягають на тому, що хвости швидше). Найкраще, якщо він налаштований на безліч ставок на кожну за невелику суму грошей. (Не дивуйтеся, якщо є якийсь привід, чому вони не можуть взяти на себе половину ставки - але, принаймні, це, здається, значно зменшить вірогідність, з якої займає цю посаду.)

[Однак, вся ця дискусія передбачається справедливою монетою. Якщо монета не була справедливою (50-50), тоді потрібна була б інша версія дискусії, заснована на відхиленнях від очікуваної різниці пропорцій. Наявність 10 голів у 10 кидках може змусити вас підозрювати припущення p = 0,5. Добре підкинута монета повинна бути близькою до справедливої або зваженої, але насправді все ще має невеликі, але експлуатаційні ухили , особливо якщо особа, що експлуатує її, є хтось на кшталт Персі Діаконіс. Звернуті монети, з іншого боку, можуть бути досить чутливі до зміщення через більшу вагу на одній стороні.]

Плутанина полягає в тому, що він дивиться на ймовірність з самого початку, не дивлячись на те, що ще відбулося.

Давайте спростимо:

Перший фліп:

T

Тепер шанс T склав 50%, тому 0,5.

Шанс, що наступним фліпом знову стане T, становить 0,5

TT 0.5
TF 0.5

Однак, що з першим фліпом? Якщо ми включимо це, то:

TT 0.25
TF 0.25

Решта 50% починається з F і знову має рівномірний розкол між T і F.

Щоб розширити це на десять хвостів поспіль - ймовірність того, що ви вже отримали, це 1/1024.

Ймовірність того, що наступним буде T або F, становить 50%.

Тож шанс від початку 11 хвостів - 1 у 2048 р. Ймовірність того, що вже 10 разів перевернувши хвіст, що наступним фліпом буде також хвіст, хоча все ще 50%.

Вони намагаються застосувати малоймовірність коефіцієнта коефіцієнта 10 на 10 T до шансу на інший T, коли насправді це вже відбулося, тому ймовірність того, що це станеться, вже не має значення.

11 хвостів поспіль є не більш-менш вірогідними, ніж 10 хвостів, за якими йде одна голова.

Ймовірність того, що 11 сальто - це всі хвости, малоймовірна, але оскільки це вже сталося, це вже не має значення!

Шанси все ще 50-50, що наступним переворотом будуть хвости.

Дуже просте пояснення: шанси перевернути 10 голів + 1 хвіст у такому порядку дуже низькі. Але до того моменту, коли ви перевернули 10 голів, ви вже здолали більшість шансів ... у вас є 50-50 шансів закінчити послідовність черговим переворотом монети.

Спробуйте переконати їх у тому, що якби попередні результати впливали на майбутні кидки, то слід брати до уваги не тільки останні 10 кидок, але й кожне попереднє кидання в монеті.

Я думаю, що це більш логічний підхід.

Це насправді не відповідь - ваша проблема психологічна, а не математична. Але це може допомогти.

Я часто стикаюся з вашим питанням "як чорт ...". Відповіді тут - переважно правильні, занадто математичні для людей, до яких ви звертаєтесь. Я починаю з того, що я намагаюся переконати їх у тому, що гортати одну монету 10 разів - це те саме, що перегортати 10 монет одночасно. Вони можуть зрозуміти, що sometimesви побачите 10 голів. Насправді це відбувається приблизно раз на тисячу спроб (оскільки ). Якщо 15000 людей спробують це, то приблизно 30 з них подумають, що мають спеціальні монети - або всі голови, або всі хвости. Якщо вони приймають цей аргумент, то крок до послідовних кидок трохи простіше.$2^{10} \approx 10^3$

Щоб додати до попередніх відповідей, тут є два питання , по- перше , що відбувається, коли підрахунок насправді справедливий, і кожен жеребкування не залежить від усіх інших кидків. Потім ми маємо "закон великої кількості", кажучи, що в межах постійно зростаючої послідовності кидок частота хвостів наближається до ймовірності хвоста, тобто .$1/2$

Якщо перші десять закидів були хвостами, то обмежувальна частота все одно буде половиною, без необхідності, щоб пізніші кидки «врівноважували» перші десять хвостиків! Алгебраїчно нехай - кількість хвостів серед кидків. Давайте припустимо, що насправді ми отримуємо Тоді, враховуючи перші десять кидок, у нас все одно буде межа Тобто, після одного мільйона і десяти закидів ми маємо це $x_n$$11, 12, \dots, n+10.$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n/n =1/2$$ $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{10+x_n}{n+10}= 1/2$$ $$\frac{10+500000}{1000010} \approx 0.5$$ тож, в обмеженні, перші 10 хвостів зовсім не мають значення, його ефект "вимивають" усі пізніші кидки. Отже, немає необхідності в «балансуванні» для досягнення граничного результату. Математично це просто використання того факту, що межа (якщо існує ...) будь-якої послідовності чисел взагалі не залежить від будь-якого кінцевого, початкового відрізка! Таким чином, ми можемо довільно призначити результати для перших десяти (або першої сотні) кидок, не впливаючи на межу. Я думаю, такий спосіб пояснення його своїм друзям з азартними гравцями (можливо, з більшою кількістю чи прикладів та меншою кількістю алгебри ...) може бути найкращим способом.

Інший аспект : Після десяти закидів десять хвостиків, можливо, хтось починає сумніватися, чи монета хороша, відповідає простої, звичайної моделі незалежних, рівних ймовірностей кидок. Якщо припустити, що "тоссер" (людина, яка займається жеребкуванням) не був навчений керувати кидками якимось чином, і це справді кидається чесно, ймовірність хвоста повинна бути половиною ( див. Цей документ Гельмана .)

Тож, в альтернативній гіпотезі, повинна бути якась залежність між киданням монети! І, побачивши десять хвостів поспіль, свідченням є те, що залежність є позитивною, так що один хвіст збільшує ймовірність того, що наступним киданням монети стане хвіст. Але потім, після цього аналізу, розумний висновок полягає в тому, що ймовірність одинадцятого кидання хвоста, збільшується , а не знижується! Тож висновок у такому випадку протилежний вашим друзям з азартними гравцями.

Я думаю, що вам потрібна буде дуже дивна модель, щоб виправдати свої висновки.

Якщо припустити, що обертання монети є незалежними, це дуже легко довести від одного статистичного лікаря до іншого. Однак ваш друг, здається, не вірить, що монети монети незалежні. Крім викидання слів, які є синонімом незалежних (наприклад, монета не має «пам’яті»), ви не можете довести йому, що монети перегортання є незалежними лише аргументом слова. Я б запропонував використовувати моделювання, щоб стверджувати свою заяву, але, якщо чесно, якщо ваш друг не вірить, що монети монети незалежні, я не впевнений, що він повірить в результати моделювання.

Щоб відновити деякі пояснення, які вже були надані (від @TimB та @James K), після того, як ви перевернули монету в 10 разів і отримали 10 голів, ймовірність отримати 10 головок поспіль рівно 1,0! Це вже сталося, тому ймовірність того, що трапиться, зараз виправлена.

Коли ви помножите це на ймовірність отримати голови на наступному перевороті (0,5), ви отримаєте рівно 0,5.

Ставка на хвости з будь-яким іншим, ніж парними шансами на цей момент, - це заборщика грошей.

Скажімо, я переконаний, що монета справедлива. Якщо монета була справедливою, то ймовірність мати 10 головок підряд - Отже, як частолюбиця зі значенням , я повинен відхилити : монета справедлива, і зробити висновок, що : "щось " - це правда. Ні, я не можу наполягати на тому, що ймовірність побачити іншу голову все ще

$$p_{10}=\left(\frac{1}{2}\right)^{10}=\frac{1}{1024}<0.1\%$$ $\alpha=1\%$$H_0$$H_a$$\frac{1}{2}$

Я залишу це вам застосувати байєсівський підхід і дійти аналогічного висновку. Ви почнете з попередньої ймовірності головок , потім оновіть її спостереженням 10 голів підряд, і побачите, як задня ймовірність голов$p=\frac{1}{2}$$\pi>\frac{1}{2}$

Приклад UPDATE @oerkelens можна інтерпретувати двома способами.

• твій друг зробив ставку на THHTTHTTHT, потім кинув монету 10 разів і отримав: THHTTHTTHT. У цьому випадку ви будете настільки здивовані, як і 10 голов підряд, і почнете сумніватися в справедливості монети. Ви не впевнені, що думати про ймовірність хвоста в наступному киданні, адже ваш друг, здається, зможе отримати саме те, що він хоче, це не випадково.
• ви кинули монету 10 разів і спостерігали якусь комбінацію, що сталася THHTTHTTHT, ви помітите, що було 6 хвостів і 4 голови, що є , що не примітно. Отже, ймовірність виникнення хвоста в наступному жеребкуванні, ймовірно, є , оскільки немає підстав сумніватися в його справедливості.$p=\frac{10!}{6!4!2^{10}}\sim 0.2$$\frac{1}{2}$

Крім того, можна стверджувати, що хоча 0,001 - це невелика ймовірність, якщо ви кинете 10 монет 100 000 разів, ви неодмінно побачите кілька комбінацій з 10 голів. Правда, але в цьому випадку у вас є 1 мільйон кидань монет, і ви шукаєте принаймні одну комбінацію з 10 голів у послідовності. Частотистська ймовірність спостереження за принаймні однією комбінацією з 10 голів обчислюється так: Отже, частофіліст зробить висновок після довгих місяців кидання монети в 1 мільйон разів і дотримання 10-головної комбінації, що нічого страшного, справи стаються. Він не вноситиме жодних коригувань у свої очікування щодо ймовірності наступного керівника, і залишить це на рівні 0,5

$$1-\left(\frac{1}{2^{10}}\right)^{100,000}\approx 1$$

ДЛЯ КОМП'ЮТЕРНИХ ЛЮДЕЙ Якщо ваші друзі - це комп'ютерні програмісти, то я виявив, що найпростіший спосіб звернутися до їх інтуїції - це програмування. Попросіть їх запрограмувати експеримент з киданням монети. Вони трохи подумають, а потім придумають щось подібне:

for i=1:11
   if rand()>0.5 
       c='H';
   else
       c='T';
   end
   fprintf('%s',c)
end
disp '.'

THTHTHTHHHT.

Ви запитаєте їх

де ваш код для обробки 10 голов підряд? Виявляється, що у вашому коді незалежно від того, що сталося в перших 10 петлях, 11-й кидок має 0,5 ймовірності головок.

Однак ця справа звертається до справедливого кидання монети. Код розроблений з справедливим киданням монети. У випадку, якщо 10 голов, хоча, монета є справедливою.

За ідеальних обставин відповідь - ні. Кожен кидок не залежить від того, що було раніше. Тож якщо це справді справедлива монета, то це не має значення. Але якщо ви не впевнені, несправна чи ні монета (що може трапитися в реальному житті), довга послідовність хвостів може змусити людей повірити, що це несправедливо.

Ця відповідь буде працювати на всі подібні питання, включаючи проблему Monty Hall. Просто запитайте їх, що вони думають, що шанси отримати хвіст після десяти голів. Запропонуйте зіграти на них трохи краще (для них), але все ще за 50-50 шансів. З будь-якою удачею вони погодиться дозволити комп’ютеру зайнятися гортанням, і в такому випадку ви швидко отримаєте гроші в кишені. Інакше це займе більше часу, але результат (неминуче) той самий.

Як би ви їх переконали? Один із способів - показати розподіл результатів від точно описаної проблеми.

#1,000,000 observations
numObservations <- 1e+6
#11 coin tosses per sample
numCoinTosses <- 11

sampledCoinTosses <- matrix(sample(c(-1,1),numObservations*numCoinTosses,replace=TRUE),
                        nrow = numObservations, ncol = numCoinTosses)
sampledCoinTosses <- cbind(sampledCoinTosses,apply(sampledCoinTosses[,1:numCoinTosses - 1],1,sum))
#Where the sum of the first ten observations is 10, this corresponds to 10 heads.
tenHeadsObservations <- sampledCoinTosses[which(sampledCoinTosses[,numCoinTosses + 1] == 10),]
#By looking at the summary of the 11th coin toss we can see how close the average value is to 0
summary(tenHeadsObservations[,numCoinTosses])

Спробуйте так: Припустимо, що у нас вже є закидів головою - дуже рідкісна подія, ймовірність «бути там» . Тепер ми готуємося до ще одного жеребкування і заздалегідь продумаємо, що може статися далі:0,5 $10$$0.5^{10}$

• якщо хвости, ми все-таки закінчуємо запис надзвичайно рідкісної серії подій з вірогідністю ;$0.5^{10}$
• якщо голови, ймовірність цілого ряду дещо менша, але не Набагато менша, ;$0.5^{11}$

А різниця між двома - це лише одне справедливе кидання монети.