Ймовірність події, яка не підлягає вимірюванню

З теорії міри ми знаємо, що є події, які неможливо виміряти, тобто вони не піддаються Лебегу. Що ми називаємо подією з ймовірністю, що міра ймовірності не визначена? Які типи заяв ми б зробили щодо такої події?

probability estimation

— схенектади
джерело

Це не обчислює. Можливо, мені потрібна кава або я це неправильно читаю. Існує різниця між тим, що функція вимірювання не визначається, і множиною, що не вимірюється. Якщо питання пов'язане з функцією, то це просто точка, в якій функція не визначена. Це не виключає можливості визначеної функції і є дійсною мірою ймовірності.

— Ітератор

Якщо ви не можете встановити набір, що не підлягає вимірюванню Лебега, без вибору аксіоми, як ви пропонуєте дізнатися, відбулася чи ні певна подія з не вимірюваною ймовірністю?

— Генрі

@ Генрі: ОП може посилатися лише на термінологію. Щодо того, як я можу посилатися на таку подію, мені доведеться покликатись на "Нескінченний драйв неможливості Дугласа Адама" Або назвіть це явищем Білої королеви, оскільки вона могла повірити 6 неможливих речей до сніданку. :)

— Ітератор

Як зазначав кардинал, в теорії ймовірностей дуже широко використовуються невимірні множини. Книга Слабка конвергенція та емпіричні процеси Ван дер Ваарта дає дуже вдале вступ. Читання цієї книги потребує досить хорошого досвіду в математиці, але представлена теорія, на мій погляд, прекрасна.

— mpiktas

Вас цікавлять лише результати, що стосуються міри Лебега або загалом в рамках теорії ймовірностей? Тут, мабуть, є деякі сумніви серед учасників.

— кардинал

Відповіді:

Як я говорив у коментарях, як боротися з цими видами подій (не вимірювані множини) описано в книзі: Слабка конвергенція та емпіричні процеси А. ван дер Ваарта та А. Велнера. Ви можете переглядати перші кілька сторінок.

$(\Omega,\mathcal{A},P)$ $B$

P^{*} (B) = inf {(P (A), B \subset A, A \in A}

$P^*(B)=\inf\{(P(A), B\subset A, A\in \mathcal{A}\}$

Виявляється, ви можете побудувати дуже плідну теорію з таким визначенням.

— mpiktas
джерело

хоча я не є експертом з теорії емпіричного процесу, моє враження, що використання зовнішніх ймовірностей насправді не базується на бажанні призначити ймовірності не вимірюваним множинам, а тому, що ви не хочете проходити проблеми насправді постійно підтверджуючи вимірюваність. І якщо ти можеш жити без таких речей, як теорема Фубіні, то в основному нічого не втрачаєш, просто обчислюючи зовнішні ймовірності.

— NRH

Редагувати: Зважаючи на коментар кардинала: Все, що я кажу нижче, неявно стосується міри Лебега (повний захід). Читаючи своє запитання, здається, що про це ви також запитуєте. У загальному випадку міри Бореля, можливо, можна розширити міру, щоб включити ваш набір (те, що неможливо з мірою Лебега, оскільки він вже настільки великий).

Ймовірність такої події не була б визначена. Період. Так само, як реальна цінна функція не визначається для (нереального) комплексного числа, міра ймовірності визначається на вимірюваних множинах, але не на не вимірюваних множинах.

То які заяви ми могли б зробити про таку подію? Ну а для початківців таку подію потрібно було б визначити за допомогою вибору аксіоми. Це означає, що всі множини, які ми можемо описати деяким правилом, виключені. Тобто, всі набори, які нас, як правило, цікавлять, виключені.

Але хіба ми не могли щось сказати про ймовірність не вимірюваної події? Покласти на нього обв’язку чи щось таке? Парадокс Банака-Тарського показує, що це не спрацює. Якби міра кінцевої кількості фігур, на яку Банах-Тарскі розкладає сферу, мала верхню межу (скажімо, міра сфери), побудувавши достатню кількість сфер, ми зіткнулися б із суперечливістю. Аналогічним аргументом назад ми бачимо, що п'єси не можуть мати нетривіальну нижню межу.

Я не показав, що всі немірні множини є проблематичними, хоча я вважаю, що розумніша людина, ніж я, повинна мати можливість придумати аргумент, який показує, що ми не можемо жодним чином ставити будь-яку нетривіальну межу "мірою" "будь-якого не вимірюваного набору (виклик для громади).

Підводячи підсумок, ми не можемо робити жодних тверджень щодо міри ймовірності такого набору, це ще не кінець світу, оскільки всі відповідні набори вимірюються

— Хар
джерело

Це цікава відповідь та інформативна відповідь. Але, можливо, ви надто зосереджені на вимірюваності Лебега. Невимірні множини набагато більш поширені в теорії ймовірностей.

— кардинал

Вже є хороші відповіді, але дозвольте мені внести свій внесок ще з одним моментом. Міра Лебега часто розглядається на Lebesgue -algebra, яка є повною, і, як уже вказувалося, нам потрібна аксіома вибору для встановлення безмірних множин Лебега. Загалом теорія ймовірностей і, зокрема, стосовно стохастичних процесів далеко не очевидно, що можна зробити відповідне завершення алгебри, і не вимірювані події є менш екзотичними. У деякому сенсі розрив між Борелем -алгеброю та Лебег -алгеброю на цікавіший, ніж екзотичні набори не в лебезькій -алгебрі. $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\mathbb{R}$ $\sigma$

Проблема, яку я в основному бачу, пов'язана з питанням, полягає в тому, що набір (або функція) не може бути очевидно вимірним. В деяких випадках ви можете довести, що це насправді є, але це може бути важко, а в інших випадках ви можете лише довести, що це піддається вимірюванню, коли ви розширюєте -алгебра нульовими наборами деякої міри. Для дослідження розширень Borel -алгебр на топологічних просторах ви часто стикаєтесь з так званими сусліновими множинами або аналітичними множинами, які не повинні бути вимірюваними Борелем. $\sigma$ $\sigma$

— NRH
джерело