Статистика замовлень (наприклад, мінімум) нескінченної колекції чи-квадратних змінних?

Тут у мене вперше, тому, будь ласка, повідомте мене, чи можу я прояснити своє питання будь-яким способом (у тому числі форматування, теги тощо). (І, сподіваюся, я можу відредагувати пізніше!) Я намагався знайти посилання та намагався вирішити себе за допомогою індукції, але не вдалося в обох.

Я намагаюся спростити розподіл, який, здається, зводиться до статистики порядку незмінно нескінченного набору незалежних випадкових змінних з різним ступенем свободи; конкретно, який розподіл найменшого значення серед незалежних ? $\chi^2$ $m$ $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\chi^2_8,\ldots$

Мене зацікавив би особливий випадок : який розподіл мінімуму (незалежного) ? $m=1$ $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

У випадку мінімуму я зміг записати функцію кумулятивного розподілу (CDF) як нескінченний продукт, але не можу далі спростити його. Я використовував той факт , що ВПР з є (З , це підтверджує другий коментар нижче про еквівалентність з експоненціальним розподілом з очікуванням 2.) CDF мінімуму може бути записаний як Перший член у творі - це просто , а "останній" термін - $\chi^2_{2m}$

F_{2 m} (x) = γ (m, x / 2) / Γ (m) = γ (m, x / 2) / (m - 1)! = 1 - e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{m - 1} x^{k} / (2^{k} k!) .

$F_{2m}(x)=\gamma(m,x/2)/\Gamma(m)=\gamma(m,x/2)/(m-1)!=1-e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}x^k/(2^k k!).$

m = 1

$m=1$

F_{m i n} (x) = 1 - (1 - F_{2} (x)) (1 - F_{4} (x)) \dots = 1 - \prod_{m = 1}^{\infty} (1 - F_{2 m} (x))

$F_{min}(x) = 1-(1-F_2(x))(1-F_4(x))\ldots = 1-\prod_{m=1}^\infty (1-F_{2m}(x))$

= 1 - \prod_{m = 1}^{\infty} (e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{m - 1} \frac{x^{k}}{2^{k} k!}) .

$= 1- \prod_{m=1}^\infty \left(e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{x^k}{2^k k!}\right).$

e^{- x / 2}

$e^{-x/2}$

e^{- x / 2} \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k} / (2^{k} k!) = 1

$e^{-x/2}\sum_{k=0}^\infty x^k/(2^k k!)=1$ . Але я не знаю, як (якщо можливо?) Спростити це звідти. А може, зовсім інший підхід є кращим.

Ще одне потенційно корисне нагадування: - це те саме, що експоненціальний розподіл із очікуванням 2, а - сума двох таких експоненцій тощо. $\chi^2_2$ $\chi^2_4$

Якщо комусь цікаво, я намагаюся спростити теорему 1 у цій статті для випадку регресії на постійній ( для всіх ). (У мене замість розподілів, оскільки я помножив на .) $x_i=1$ $i$ $\chi^2$ $\Gamma$ $2\kappa$

— Девід М Каплан
джерело

Чи відповідає це на ваше запитання?

— mpiktas

@mpiktas: дякую за пропозицію. Це схоже, за винятком експонентів з різними параметрами швидкості, у мене є ква-квадрати з різним ступенем свободи (і нескінченна їх кількість, не кінцева). І хоча є експоненціальною, не є; вони є сумами експоненціалів, але суми експоненціалів самі по собі не є експоненціальними. (І в ідеалі я сподіваюсь на загальну статистику замовлень, хоча мін буде чудовим початком.)

χ_{2}^{2}

$\chi^2_2$

χ_{4}^{2}, χ_{6}^{2}, \dots

$\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

— Девід М Каплан

Я сумніваюся, що для цього є закрита форма. Однак він має цікаву характеристику: коли є iid змінними Пуассона ( ), , то - це шанс, що всі .

X_{k}

$X_k$

λ / 2

$\lambda/2$

k = 1, 2, \dots

$k=1,2,\ldots$

1 - F_{m i n} (λ)

$1-F_{min}(\lambda)$

X_{k} \leq k

$X_k \le k$

— whuber

@whuber: Це, мабуть, не так вже й цікаво, якщо подумати про процес Пуассона, що є формулюванням, з яким я грав. Нехай буде iid випадковими змінними, з відповідним процесом Пуассона ставки . Нехай , , та ін. Тоді є незалежними і стаціонарними властивостями незалежних приростів процесу Пуассона ми мати, що .

T_{1}, T_{2}, \dots

$T_1, T_2, \ldots$

E x p (1 / 2)

$\mathrm{Exp}(1/2)$

N (t) := sup {n : \sum_{i = 1}^{n} T_{i} \leq t}

$N(t) := \sup\{n: \sum_{i=1}^n T_i \leq t\}$

1 / 2

$1/2$

U_{1} = T_{1}

$U_1 = T_1$

U_{2} = T_{2} + T_{3}

$U_2 = T_2 + T_3$

U_{3} = T_{4} + T_{5} + T_{6}

$U_3 = T_4 + T_5 + T_6$

U_{i} \sim χ_{2 i}^{2}

$U_i\sim\chi_{2i}^2$

P (U_{i} \geq t) = P (N (t) \leq i)

$\mathbb{P}(U_i \geq t) = \mathbb{P}( N(t) \leq i)$

— кардинал

@Cardinal Звичайно: це хороший спосіб побачити це. Цікавість полягає не у відносинах між Пуассоном та Гаммами; вона полягає в описі самої події!

— whuber

Відповіді:

Нулі нескінченного добутку будуть об'єднанням нулів доданків. Обчислення на 20-му терміні показує загальну закономірність:

сюжет складних нулів

Цей сюжет нулів у складній площині відрізняє внески окремих доданків у творі за допомогою різних символів: на кожному кроці видимі криві розширюються далі, а нова крива починається ще далі.

Складність цієї картини демонструє, що не існує рішення закритої форми з точки зору добре відомих функцій вищого аналізу (таких як гамма, тетас, гіпергеометричні функції тощо), а також елементарних функцій, як описується в класичному тексті, як Уіттакер & Ватсон ).

Таким чином, проблема може бути більш плідно поставлена дещо інакше : що потрібно знати про розподіл статистики замовлень? Оцінки їх характерних функцій? Моменти низького замовлення? Наближення до квантилів? Щось ще?

— дзижчати
джерело

Чому нулі товару мають важливе значення? Я відчуваю, що пропускаю щось банальне.

— mpiktas

@mp Нулі та полюси показують щось про складність функції. Раціональні функції мають їх кінцеву кількість. Елементарні функції зазвичай мають рядок нулів, наприклад, на , інтеграл, для ; типові "трансцендентальні" функції мають трохи більш складні структури нулів, такі як взагалі непозитивні цілі числа (зворотна функція Гамма) або на решітці точок (тета-функції та еліптичні функції). Тут представлена складна картина говорить про те, що виразити CDF в рамках цих звичних функцій буде важко або неможливо.

2 i π n

$2i\pi n$

n

$n$

\exp ()

$\exp()$

— whuber

@whuber (1/2), дякую! Я не знав про різні класи функцій, що мають ті різні закономірності нулів у складній площині; це здається дуже корисним, і ваш графік, здається, відповідає на моє запитання (як поставлено).

— David M Kaplan

@whuber (2/2), це перевіряло особливий випадок (складного) розподілу оцінювача, поданого в іншій роботі. Вони використали існування дистрибутива для обгрунтування використання завантажувальної програми; мій радник запропонував спробувати наблизити розподіл. Здається, їх розподіл може бути вимкнено для цього особливого випадку (де я знаю, що це повинно бути), тому я перевірю свого радника після закінчення терміну його надання; але, можливо, я б намагався прийняти розширення вищого порядку го порядку впорядкованості (поділене на ) як , у більш складній обстановці. Опублікує знову, якщо так; знову дякую!

m

$m$

m

$m$

m \to \infty

$m\to\infty$

— Девід М Каплан

який розподіл мінімуму (незалежного) ? $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

Вибачте за приїзд на 6 років. Незважаючи на те, що ОП, ймовірно, зараз перейшла до інших проблем, питання залишається свіжим, і я думав, що я міг би запропонувати інший підхід.

Нам подано де де з у форматі pdf : $(X_1, X_2, X_3, \dots)$ $X_i \sim \text{Chisquared}(v_i)$ $v_i= 2i$ $f_i(x_i)$

Ось графік відповідного файлу у форматі pdf , коли розмір вибірки збільшується, для : $f_i(x_i)$ $i = 1 \text{ to } 8$

Нас цікавить розподіл . $\text{min}(X_1, X_2, X_3, \dots)$

Щоразу, коли ми додаємо додатковий термін, доданий pdf граничний останній термін зміщується все далі і далі вправо, так що ефект додавання все більше і більше термінів стає не тільки менш і менш актуальним, але і після лише декількох термінів , стає майже незначним - за мінімальним зразком. Це означає, що насправді має значення лише дуже невелика кількість термінів ... а додавання додаткових термінів (або наявність нескінченної кількості термінів) в значній мірі не має значення для мінімальної проблеми вибірки.

Тест

Щоб перевірити це, я обчислив pdf до 1 терміна, 2 терміна, 3 терміна, 4 терміна, 5 термінів, 6 термінів, 7 термінів, 8 термінів, до 9 термінів і до 10 термінів. Для цього я використав функцію від mathStatica , доручивши її тут обчислити pdf зразка мінімуму ( порядка статистики порядку) у вибірці розміру , а де параметр (замість цього виправлено) - це : $\text{min}(X_1, X_2, X_3, \dots)$ OrderStatNonIdentical $1^{\text{st}}$ $j$ $i$ $v_i$

Це стає дещо складніше, оскільки кількість термінів збільшується ... але я показав вихід на 1 термін (1-й рядок), 2 терміни (другий ряд), 3 терміни (3-й ряд) і 4 терміни вище.

На наступній схемі порівнюється pdf зразка мінімуму з 1 терміном (синій), 2 членами (помаранчевий), 3 термінами та 10 термінами (червоний). Зауважте, наскільки схожі результати лише з 3-ма термінами проти 10-ти термінів:

На наступній схемі порівнюються 5 термінів (синій) та 10 термінів (помаранчевий) - сюжети настільки схожі, що вони знищують один одного, і різниці навіть не видно:

Іншими словами, збільшення кількості термінів з 5 до 10 майже не відчутно візуально впливає на розподіл вибіркового мінімуму.

Напівлогістичне наближення

Нарешті, відмінним простим наближенням pdf зразка min є напівлогічний розподіл з pdf:

g (x) = \frac{2 e^{- x}}{{(e^{- x} + 1)}^{2}} for x > 0

$g(x) = \frac{2 e^{-x}}{\left(e^{-x}+1\right)^2} \quad \text{ for } x>0$

На наступній схемі порівнюється точне рішення з 10 членами (яке не можна відрізнити від 5 доданків або 20 доданків) і напівлогістичним наближенням (пунктирним):

Збільшення до 20 термінів не робить помітної різниці.

— вовки
джерело