Розподіл максимум двох корельованих нормальних змінних

Скажімо, у мене є дві стандартні нормальні випадкові величини і які є спільно нормальними з коефіцієнтом кореляції .$X_1$$X_2$$r$

Яка функція розподілу ?$\max(X_1, X_2)$

Згідно з Nadarajah and Kotz, 2008 , Точне розподіл максимальних / хв двох гауссових випадкових змінних , PDF-файл $X = \max(X_1, X_2)$ видається, є

$$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$$

де $\phi$ - PDF та $\Phi$ - CDF стандартного нормального розподілу.

$\hskip2in$

Нехай є двовимірним нормальним PDF для зі стандартними маргіналами та кореляцією . Максимум CDF, за визначенням,$f_\rho$$(X,Y)$$\rho$

$$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$$

Біваріантний звичайний PDF симетричний (через відображення) навколо діагоналі. Таким чином, збільшення до додає дві смуги еквівалентної ймовірності до початкового напівнескінченного квадрата: верхній нескінченно мало товстий тоді як його відображений аналог, права смужка, є$z$$z+dz$$(-\infty, z]\times (z, z+dz]$$(z, z+dz]\times (-\infty, z]$ .

Щільність ймовірності правої смуги - це щільність на більша від загальної умовної ймовірності того, що знаходиться в смузі, . Умовний розподіл завжди нормальний, тому щоб знайти цю загальну умовну ймовірність нам потрібні лише середнє значення та дисперсія. Умовна середня при - прогнозування регресії а умовна дисперсія - "незрозуміла" дисперсія .$X$$z$$Y$$\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$$Y$$Y$$X$$\rho X$$\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

Тепер, коли ми знаємо умовне середнє значення та дисперсію, умовний CDF заданий можна отримати, стандартизуючи і застосувавши стандартний Normal CDF :$Y$$X$$Y$$\Phi$

$$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$$

Оцінюючи це при і і помножуючи на щільність на (стандартний нормальний pdf ), дає щільність ймовірності другої (правої) смуги$y=z$$X=z$$X$$z$$\phi$

$$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$$

У подвоєнні це пояснюється рівноімовірною верхньою смугою, що дає PDF максимального значення як

$$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$$

Рекапітуляція

Я пофарбував фактори, щоб позначити їх походження: для двох симетричних смужок; для нескінченно малої ширини смуги; і для довжини смуги. Аргумент останнього, , є просто стандартизованою версією обумовлюється .$\color{blue}2$$\color{black}{\phi(z)}$$\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$$\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$$Y=z$$X=z$