Приблизний розподіл продукту N нормального iid? Особливий випадок μ≈0

З огляду на н.о.р. , і , шукаю: $N\geq30$ $X_n\approx\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$ $\mu_X \approx 0$

точне наближення розподілу закритої форми $Y_N=\prod\limits_{1}^{N}{X_n}$
асимптотичне ( експоненціальне ?) наближення того ж добутку

Це окремий випадок більш загального питання . $\mu_X \approx 0$

1. Чи є у вас інформація про та ? (Було б добре, якщо, наприклад, всі ) (2) Асимптотичне нормальне наближення буде жахливим , оскільки асимптотика не буде виглядати віддалено нормальною.

μ_{X}

$\mu_X$

σ_{X}

$\sigma_X$

μ_{X} / σ_{X} ≫ 0

$\mu_X/\sigma_X \gg 0$

Y

$Y$

— whuber

Я просто швидко пограв з цим. Якщо вас цікавить, можна отримати точне рішення закритої форми для добутку випадкових величин, що є iid . Випадок, що не має нуля ускладнює справи.

n

$n$

N (0, σ^{2})

$N(0, \sigma^2)$

μ

$\mu$

— вовчі

@whuber (1), зробивши якийсь Монте-Карло з деякими різними та , я виявив, що розподіл поводиться досить добре для та ; тепер я хотів би знайти хороший вираз для та схожий на те, як має кілька приємних наближень. Я побудував кілька наближень за допомогою розширення Тейлора, але вони погано поводяться. (2) добре, безумовно "виглядає" як сума нормальних з квадратом chi, тому можна звести до норми, якщо наближення "доводить" це.

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

F

$F$

N > 30

$N>30$

| μ_{X} | \geq 10 σ_{X}

$|\mu_X|\geq10\sigma_X$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

χ^{2}

${\chi}^2$

F

$F$

F

$F$

— Андрій Позолотін

Коли , буде добре наближений логічним розподілом (як показує додаток теореми Баррі-Ессена до ).

μ_{X} \geq 10 σ_{X}

$\mu_X \ge 10\sigma_X$

Y

$Y$

\log (X)

$\log(X)$

— whuber

@whuber пряме застосування Баррі- дає , що справді добре, але воно втрачає деяку структуру: має бути негативним, повинен залежати від тощо, можливо, є кращі способи її застосування?

F_{N} \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}} Z

$F_N \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}}Z$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

α

$\alpha$

— Андрій Позолотін

Точне рішення можна отримати в нульовому середньому випадку (частина В).

Проблема

Нехай позначають iid змінних, кожна зі спільними pdf : $(X_1, \dots, X_n)$ $n$ $N(0,\sigma^2)$ $f(x)$

Шукаємо pdf , для $\prod_{i=1}^n X_i$ $n = 2, 3, \dots$

Рішення

Pdf продукту двох таких Нормалів просто:

... де я використовую TransformProductфункцію з пакету mathStatica для Mathematica . Доменом підтримки є:

Добуток 3, 4, 5 і 6 нормалей виходить шляхом ітераційного застосування однієї і тієї ж функції (тут чотири рази):

... де MeijerGпозначається функція Meijer G

За індукцією pdf добутку iid випадкових змінних дорівнює: $n$ $N(0,\sigma^2)$

\frac{1}{(2 π)^{\frac{n}{2}} σ^{n}} MeijerG [{{}, {}}, {{0_{1}, \dots, 0_{n}}, {}}, \frac{x^{2}}{2^{n} σ^{2 n}}] for x \in R

$\frac{1}{(2 \pi )^{\frac{n}{2}} \sigma ^n} \text{MeijerG}[\{ \{ \}, \{ \} \}, \{ \{0_1, \dots, 0_n \}, \{ \} \}, \frac{x^2}{2^n \sigma ^{2 n}}] \quad \quad \text{ for } x \in \mathbb{R}$

Швидкий чек Монте-Карло

Ось коротка перевірка порівняння:

щойно отриманий теоретичний pdf (коли і ): крива ЧЕРВЕНА ДОБА $n = 6$ $\sigma=3$
до емпіричного pdf Монте-Карло: криво-синя крива

Виглядає чудово! [синя кривизна Монте крива затемнює точну червону пунктирну криву]

— вовки
джерело

Видатний, дякую, Колін. Тепер я бачу, чому я повинен купити вашу книгу :-) Також мене змушує задуматися, чи виглядає простішим. Час зняти з мене навички Wolfram.

l o g (. . . M e i j e r G (. . .))

$log(...MeijerG(...))$

— Андрій Позолотін