Тож це питання злегка безладний, але я включаю барвисті графіки, щоб компенсувати це! Спочатку передумови, а потім питання.

Фон

Скажімо, у вас -вимірний мультиноміальний розподіл з рівними ймовірностями по категоріям. Нехай π = ( π 1 , … , π n ) - нормовані відліки ( c ) від цього розподілу, тобто:$n$$n$$\pi = (\pi_1, \ldots, \pi_n)$$c$

Тепер розподіл по $\pi$ має підтримку $n$ простого, але з дискретними кроками. Наприклад, при $n = 3$ цей розподіл має таку підтримку (червоні точки):

Інший розподіл з подібною підтримкою - це $n$ -вимірний розподіл $\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$ , тобто рівномірний розподіл по одиничному симплексу. Наприклад, ось випадкові малюнки з 3-разового $\text{Dirichlet}(1, 1, 1)$ :

Тепер у мене виникла думка, що розподіл $\pi$ з $\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$ розподілу можна охарактеризувати як малюнки з $\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$ , які дискретизуються до дискретної опори $\pi$ . Я мав на увазі дискретизацію (і це, здається, працює добре), полягає в тому, щоб взяти кожну точку в симплексі і "закруглити її" до найближчої точки, яка є підтримкою $\pi$. Для тривимірного симплексу ви отримуєте такий розділ, де точки в кожній кольоровій області повинні "округлюватися" до найближчої червоної точки:

Оскільки розподіл Діріхле є рівномірним, то отримана щільність / ймовірність для кожної з точок пропорційна площі / об'єму, яка «округляється» до кожної точки. Для двовимірного та тривимірного випадків ці ймовірності:

( ці ймовірності базуються на моделюванні Монте-Карло )

Отже, схоже, щонайменше для 2 та 3 вимірів, отриманий розподіл ймовірності від дискретизуючого таким чином є таким самим, як розподіл ймовірності для π . Це нормалізований результат розподілу багаточленів ( 1 / n , … , 1 / n ) . Я також пробував 4-х розмір, і, здається, він там працює.$\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$$\pi$$\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$

Питання (и)

Тому моє головне питання:

Якщо дискретизує рівномірний Діріхле саме таким чином, чи має відношення до для подальших розмірів? Чи взагалі має відношення? (Я спробував це лише за допомогою моделювання Монте-Карло ...)$\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$

Далі мені цікаво:

• Якщо це відношення має місце, чи це відомий результат? І чи є якесь джерело, яке я можу навести для цього?
• Якщо ця дискретизація рівномірного Діріхле не має такого відношення до мультиноміалу. Чи є якась така конструкція, яка має?

Деякий контекст

Моя причина задавати це питання полягає в тому, що я дивлюся на схожість між непараметричним Bootstrap і Bayes Bootstrap, а потім це з’явилося. Я також помітив, що візерунок на кольорових ділянках 3-денного симплексу вище виглядає (і повинен бути) діаграмою Вороного. Один із способів (я сподіваюсь) ви можете подумати про це як послідовність трикутника / Simpex Паскаля ( http://www.math.rutgers.edu/~erowland/pascalssimplices.html ). Там, де розміри кольорових областей слідують за другим рядом трикутника Паскаля у двовимірному випадку, третьому рядку тетраедра Паскаля у 3-му випадку тощо. Це пояснило б зв'язок з багаточленним розподілом, але тут я справді в глибокій воді ...

Ці два розподіли для кожного .$n \geq 4$

Позначення

Я збираюся змінити масштаб вашого симплекса на коефіцієнт , щоб точки решітки мали цілі координати. Це нічого не змінює, я просто думаю, що це робить позначення трохи менш громіздкими.$n$

Нехай - ( n - 1 ) -простий, заданий як опуклий корпус точок ( n , 0 , ... , 0 ) , ..., ( 0 , ... , 0 , n ) в R n . Іншими словами, це точки, де всі координати є негативними, і де координати дорівнюють n .$S$$(n-1)$$(n,0,\ldots,0)$$(0,\ldots,0,n)$$\mathbb R^{n}$$n$

Нехай позначає безліч точок решітки , тобто тих точок у S, де всі координати є цілісними.$\Lambda$$S$

Якщо є гратами точки, позначить через V Р позначить його Ворону клітку , визначається як ті точки S , які є (строго) ближче до P , ніж до будь-якої іншої точки Л .$P$$V_P$$S$$P$$\Lambda$

Ми ставимо дві імовірнісних розподілів ми можемо покласти на . Одним з них є поліноміальних розподілом, де точка ( 1 , . . . , П ) має ймовірність 2 - п п ! / ( a 1 ! ⋯ a n ! ) . Інший боку, ми будемо називати модель Діріхле , і привласнює кожен P ∈ Л ймовірності , пропорційну обсягом V P .$\Lambda$$(a_1, ..., a_n)$$2^{-n} n!/(a_1! \cdots a_n!)$$P \in \Lambda$$V_P$

Дуже неформальне обгрунтування

Я стверджую, що мультиноміальна модель та модель Діріхле дають різні розподіли на , коли n ≥ 4 .$\Lambda$$n \geq 4$

Щоб побачити це, розглянемо випадок , а точки A = ( 2 , 2 , 0 , 0 ) і B = ( 3 , 1 , 0 , 0 ) . Я стверджую, що V A і V B конгруентні через переклад вектором ( 1 , - 1 , 0 , 0 ) . Це означає, що V A і V $n=4$$A = (2,2,0,0)$$B=(3,1,0,0)$$V_A$$V_B$$(1,-1,0,0)$$V_A$$V_B$мають однаковий об'єм, і таким чином, що і B мають однакову ймовірність у моделі Діріхле. З іншого боку, у мультиноміальній моделі вони мають різні ймовірності ( 2 - 4 ⋅ 4 ! / ( 2 ! 2 ! ) Та 2 - 4 ⋅ 4 ! / 3 ! ), І звідси випливає, що розподіли не можуть бути рівними.$A$$B$$2^{-4} \cdot 4!/(2!2!)$$2^{-4} \cdot 4!/3!$

Те, що і V B є конгруентними, випливає з наступного правдоподібного, але неочевидного (і дещо розпливчастого) твердження:$V_A$$V_B$

Імовірне твердження : на форму та розмір впливають лише "безпосередні сусіди" P (тобто ті точки в Λ, які відрізняються від P за вектором, який має вигляд ( 1 , - 1 , 0 , ... , 0 ) , де 1 і - 1 можуть бути в інших місцях)$V_P$$P$$\Lambda$$P$$(1,-1,0,\ldots,0)$$1$$-1$

Неважко помітити, що конфігурації «безпосередніх сусідів» і B однакові, і з цього випливає, що V A і V B є конгруентними.$A$$B$$V_A$$V_B$

У випадку, коли , ми можемо грати в ту саму гру з A = ( 2 , 2 , n - 4 , 0 , … , 0 ) і B = ( 3 , 1 , n - 4 , 0 , … , 0 ) , наприклад.$n \geq 5$$A = (2,2,n-4,0,\ldots,0)$$B=(3,1,n-4,0,\ldots,0)$

Я не думаю, що ця претензія є абсолютно очевидною, і я не збираюся її доводити, а не дещо іншою стратегією. Однак я вважаю, що це більш інтуїтивна відповідь на те, чому розподіли різні для .$n \geq 4$

Суворий доказ

Візьміть і B, як у неофіційному обґрунтуванні вище. Потрібно лише довести, що V A і V B є конгруентними.$A$$B$$V_A$$V_B$

З огляду на , , ми визначимо W P наступним чином : W Р є безліч точок ( х 1 , ... , х п ) ∈ S , для яких НЕ більш 1 ≤ я ≤ п ( a i - p i ) - min 1 ≤ i ≤ n ( a $P = (p_1, \ldots, p_n) \in \Lambda$$W_P$$W_P$$(x_1, \ldots, x_n) \in S$ . (Більш засвоюваним способом: Нехай v i = a i - p i . W P - це сукупність точок, для яких різниця між найвищою та найнижчою v i меншою за 1.)$\max_{1 \leq i \leq n} (a_i - p_i) - \min_{1 \leq i \leq n} (a_i - p_i) < 1$$v_i = a_i - p_i$$W_P$$v_i$

Покажемо , що .$V_P = W_P$

Крок 1

Затвердження: .$V_P \subseteq W_P$

Це досить просто: Припустимо , що не в W P . Нехай v i = x i - p i , і припустимо (без втрати загальності), що v 1 = max 1 ≤ i ≤ n v i , v 2 = min 1 ≤ i ≤ n v i . v 1 - v $X = (x_1, \ldots, x_n)$$W_P$$v_i = x_i - p_i$$v_1 = \max_{1\leq i\leq n} v_i$$v_2 = \min_{1\leq i\leq n} v_i$ Оскільки ∑ n i = 1 v i = 0 , ми також знаємо, що v 1 > 0 > v 2 .$v_1 - v_2 \geq 1$$\sum_{i=1}^n v_i = 0$$v_1 > 0 > v_2$

Let now $Q = (p_1 + 1, p_2 - 1, p_3, \ldots, p_n)$. Since $P$ and $X$ both have non-negative coordinates, so does $Q$, and it follows that $Q \in S$, and so $Q \in \Lambda$. On the other hand, $\mathrm{dist}^2(X, P) - \mathrm{dist}^2(X, Q) = v_1^2 + v_2^2 - (1-v_1)^2 - (1+v_2)^2 = -2 + 2(v_1 - v2) \geq 0$. Thus, $X$ is at least as close to $Q$ as to $P$, so $X \not\in V_P$. This shows (by taking complements) that $V_p \subseteq W_P$.

Step 2

Claim: The $W_P$ are pairwise disjoint.

Suppose otherwise. Let $P=(p_1,\ldots, p_n)$ and $Q = (q_1,\ldots,q_n)$ be distinct points in $\Lambda$, and let $X \in W_P \cap W_Q$. Since $P$ and $Q$ are distinct and both in $\Lambda$, there must be one index $i$ where $p_i \geq q_i + 1$, and one where $p_i \leq q_i - 1$. Without loss of generality, we assume that $p_1 \geq q_1 + 1$, and $p_2 \leq q_2 - 1$. Rearranging and adding together, we get $q_1 - p_1 + p_2 - q_2 \geq 2$.

Consider now the numbers $x_1$ and $x_2$. From the fact that $X \in W_P$, we have $x_1 - p_1 - (x_2 - p_2) < 1$. Similarly, $X \in W_Q$ implies that $x_2 - q_2 - (x_1 - q_1) < 1$. Adding these together, we get $q_1 - p_1 + p_2 - q_2 < 2$, and we have a contradiction.

Step 3

We have shown that $V_P \subseteq W_P$, and that the $W_P$ are disjoint. The $V_P$ cover $S$ up to a set of measure zero, and it follows that $W_P = V_P$ (up to a set of measure zero). [Since $W_P$ and $V_P$ are both open, we actually have $W_P = V_P$ exactly, but this is not essential.]

Now, we are almost done. Consider the points $A = (2,2,n-4,0,\ldots,0)$ and $B = (3,1,n-4,0,\ldots,0)$. It is easy to see that $W_A$ and $W_B$ are congruent and translations of each other: the only way they could differ, is if the boundary of $S$ (other than the faces on which $A$ and $B$ both lie) would ``cut off'' either $W_A$ or $W_B$ but not the other. But to reach such a part of the boundary of $S$, we would need to change one coordinate of $A$ or $B$ by at least 1, which would be enough to guarantee to take us out of $W_A$ and $W_B$ anyway. Thus, even though $S$ does look different from the vantage points $A$ and $B$, the differences are too far away to be picked up by the definitions of $W_A$ and $W_B$, and thus $W_A$ and $W_B$ are congruent.

It follows then that $V_A$ and $V_B$ have the same volume, and thus the Dirichlet model assigns them the same probability, even though they have different probabilities in the multinomial model.