Лінійне поєднання двох випадкових ненормальних, що все ще є членом однієї сім'ї

Добре відомо, що лінійна комбінація двох випадкових нормальних змінних також є випадковою нормальною змінною. Чи є спільні ненормальні сім'ї розподілу (наприклад, Weibull), які також поділяють цю власність? Здається, існує багато зустрічних прикладів. Наприклад, лінійна комбінація уніформи зазвичай не є рівномірною. Зокрема, чи існують сім'ї ненормативного розподілу, у яких істинне наступне:

1. Лінійна комбінація двох випадкових змінних з цієї родини еквівалентна деякому розподілу в цій сім'ї.
2. Отриманий параметр (и) можна ідентифікувати як функцію від вихідних параметрів та констант у лінійній комбінації.

Мене особливо цікавить таке лінійне поєднання:

$Y = X_1 \cdot w + X_2 \cdot \sqrt{(1-w^2)}$

де $X_1$ і $X_2$ відбирають вибірки з якоїсь ненормальної родини з параметрами $\theta_1$ і $\theta_2$, і $Y$ походить з тієї ж ненормальної сім'ї з параметром $\theta_Y = f(\theta_1, \theta_2, w)$.

Я описую родину розподілу з 1 параметром для простоти, але я відкрита для сімей розподілу з декількома параметрами.

Крім того, я шукаю приклади (и), де в ньому достатньо простору параметрів $\theta_1$ і $\theta_2$працювати з цілями моделювання. Якщо ви можете знайти лише приклад, який працює для деяких дуже конкретних$\theta_1$ і $\theta_2$, це було б менш корисно.

Добре відомо, що лінійна комбінація двох випадкових нормальних змінних також є випадковою нормальною змінною. Чи є спільні ненормальні сім'ї розподілу (наприклад, Weibull), які також поділяють цю власність?

Нормальний розподіл задовольняє хорошу ідентичність згортки: $X_1\sim N\left[\mu _1,\sigma _1^2\right],X_2\sim N\left[\mu _2,\sigma _2^2\right]\Longrightarrow X_1+X_2\sim N\left[\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2\right]$. Якщо ви посилаєтесь на центральну граничну теорему, то, наприклад, ті гамма-розподіли з однаковим коефіцієнтом форми поділяли б це властивість і перетворювались на гамма-розподіли. Будь ласка, дивіться застереження щодо виклику теореми про центральну межу . Однак, як правило, при нерівних коефіцієнтах форми гамма-розподіли "додаватимуться" за допомогою згортки, яка би не була гамма-розподілом, а скоріше гамма-функцією, що примножує гіпергеометричну функцію першого виду, як знайдено у рівнянні. (2) згортання двох гамма-розподілів . Інше визначення додавання, тобто формування розподілу сумішей незв'язаних процесів, не обов'язково повинно містити будь-яку центральну межу, наприклад, якщо засоби різні.

Напевно, є й інші приклади, я не робив вичерпного пошуку. Закриття для згортки, здається, далеко не надумане. Для лінійного поєднання добуток Пірсона VII з Пірсоном VII - це ще один Пірсон VII .

Добре відомо, що лінійна комбінація двох випадкових нормальних змінних також є випадковою нормальною змінною. Чи є спільні ненормальні сім'ї розподілу (наприклад, Weibull), які також поділяють цю власність?

Мені здається, ви шукаєте клас дистрибуторів, стійких до Леві . Це клас$\mathscr{P}$ усіх дистрибуцій $\mathcal{P} \in \mathscr{P}$ які задовольняють властивості стійкості:

Іншими словами, для кожного розподілу цього класу, якщо ви берете лінійну функцію з двох незалежних випадкових змінних із цим розподілом, то це має те саме розподіл, що і афінна функція однієї випадкової змінної з цим розподілом. (Зверніть увагу, що цю вимогу стабільності можна посилити, встановивши$d=0$, що дає підклас строго стабільних розподілів.)

Стабільно розподілені розподіли можна вважати сімейством розподілів самостійно, і в цьому сенсі це єдине сімейство розподілів із цим властивістю стабільності, оскільки (за визначенням) воно охоплює всі розподіли з цією властивістю. Нормальний розподіл падає в класі розподілів Леві-стійких, так само як і розподіл Коші , то розподіл Ландау , і розподіл Хольцмаркі .