Як обчислити інтервал прогнозування для множинної регресії OLS?

Яке алгебраїчне позначення для обчислення інтервалу передбачення для множинної регресії?

Це звучить нерозумно, але у мене виникають проблеми з пошуку чіткого алгебраїчного позначення цього.

multiple-regression least-squares prediction-interval

— Майкл
джерело

Візьміть регресійну модель з $N$ спостереженнями та $k$ регресорами:

у = Х β + у

$\mathbf{y=X\beta+u} \newcommand{\Var}{\rm Var}$

Враховуючи вектор , передбачуване значення для цього спостереження буде Послідовним дисперсії цього прогнозу є де Помилка прогнозу для конкретного - Нульова коваріація між та означає, що і послідовний оцінювач цього $\mathbf{x_0}$

Е [у | х_{0}] = {\hat{у}}_{0} = х_{0} \hat{β} .

$E[y \vert \mathbf{x_0}]=\hat y_0 = \mathbf{x_0} \hat \beta.$

{\hat{V}}_{p} = с^{2} \cdot х_{0} \cdot (Х^{'} Х)^{- 1} х_{0}^{'},

$\hat V_p=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0},$

с^{2} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} {\hat{у}}_{i}^{2}}{N - к} .

$s^2=\frac{\Sigma_{i=1}^{N} \hat u_i^2}{N-k}.$

y_{0}

$y_0$

\hat{е} = у_{0} - {\hat{у}}_{0} = х_{0} β + у_{0} - {\hat{у}}_{0} .

$\hat e=y_0-\hat y_0=\mathbf{x_0}\beta+u_0-\hat y_0.$

u_{0}

$u_0$

\hat{β}

$\hat \beta$

V а r [\hat{е}] = V а r [{\hat{у}}_{0}] + V а r [у_{0}],

$\Var[\hat e]=\Var[\hat y_0]+\Var[u_0],$

{\hat{V}}_{f} = с^{2} \cdot х_{0} \cdot (Х^{'} Х)^{- 1} х_{0}^{'} + с^{2} .

$\hat V_f=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0} + s^2.$

інтервал буде: інтервал буде ширше: $1-\alpha$ $\rm confidence$

у_{0} \pm т_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{p}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{p}}.$

1 - α

$1-\alpha$

p r e d i c t i o n

$\rm prediction$

у_{0} \pm т_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{f}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{f}}.$

— Мастеров Дмитро Васильович
джерело

Наведена вище відповідь дуже добре зроблена, але я думаю, що це джерело допомагає надати певний контекст питання.

— Червневий Скітер

@Dimitriy Я вважаю, що у вашому другому еквіваленті повинно бути морква / капелюх '^' над .

β

$\beta$

— Дон Славік

\hat{e} = \hat{u}

$\hat{e}=\hat{u}$