Чи кореляція коваріації стандартизованих змінних?

У мене основне питання. Скажімо , у мене є дві випадкові величини, і . Я можу їх стандартизувати, віднімаючи середнє значення і діливши на стандартне відхилення, тобто . $X$ $Y$ $X_{standardized} = \frac{(X - E(X))}{(SD(X))}$

Чи співвідношення $X$ і $Y$ , $Cor(X, Y)$ збігається з коваріацією стандартизованих версій $X$ і $Y$ ? Тобто, $Cor(X, Y) = Cov(X_{standardized}, Y_{standardized})$ ?

correlation covariance standardization

— Джейк Фішер
джерело

Так.

${}{}{}{}{}$

— Діліп Сарват

\begin{aligned} corr (X, Y) & = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \\ Cov (X_{standardized}, Y_{standardized}) & = E [(\frac{(X - E (X))}{(S D (X))} - 0) \times (\frac{(Y - E (Y))}{(S D (Y))} - 0)] \\ = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{corr}(X,Y)&=\frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)}\\ \operatorname{Cov}(X_{\text{standardized}}, Y_{\text{standardized}}) &=E\Bigg[\Bigg(\frac{(X - E(X))}{(SD(X))}-0\Bigg)\times\Bigg(\frac{(Y - E(Y))}{(SD(Y))}-0\Bigg)\Bigg]\\ &= \frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)} \end{align}$ Отже, так!

— Hemant Rupani
джерело

Що???? Права частина вашого першого рівняння - випадкова величина, а ліва - константа.

— Діліп Сарват

Помилка ні. Питання стосується кореляції та коваріації випадкових величин, тоді як ваша відповідь - про співвідношення вибірки та коваріації. Наприклад, результат запитується про обмеження для безперервних випадкових змінних, тоді як у кращому випадку те, що у вас є, стосується лише дискретних випадкових змінних, що приймають значення з однаковою ймовірністю .

(X_{1}, Y_{1}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$

\frac{1}{n}

$\frac 1n$

— Діліп Сарват

Не зовсім. Вам не потрібні індекси взагалі, так що я пішов вперед і видалив їх, і поліпшити презентацію трохи. Не соромтеся відкочуватися, якщо вам не подобаються зміни.

i

$i$

— Діліп Сарват

Ви берете сподівання SD (X) та SD (Y). Поясніть міркування трохи більше, будь ласка.

— Ердоган КЕВЕР

@ Константи Ердогана можна приймати поза зміною очікуваної () функції без змін.

— Хемант Рупані