Чи слід моделювати різницю між контролем та лікуванням явно або неявно?

З огляду на наступні експериментальні установки:

Кілька зразків відбирають у суб'єкта, і кожен зразок обробляється декількома способами (включаючи контрольну обробку). Що в основному цікаво, це різниця між контролем та кожним лікуванням.

Я можу придумати дві прості моделі для цих даних. Зразком $i$ , лікування $j$ , лікування 0 як контроль, нехай $Y_{ij}$ бути даними, $\gamma_i$ бути базовою лінією для вибірки $i$ , $\delta_j$ бути різницею для лікування $j$ . Перша модель розглядає як управління, так і різницю:

Y_{i j} = γ_{i} + δ_{j} + ϵ_{i j}

$Y_{ij}=\gamma_i+\delta_j+\epsilon_{ij}$

δ_{0} = 0

$\delta_0=0$

У той час як друга модель дивиться лише на різницю. Якщо ми проводимо попередній розрахунок $d_{ij}$ заздалегідь

d_{i j} = Y_{i j} - Y_{i 0}

$d_{ij}=Y_{ij}-Y_{i0}$ тоді

d_{i j} = δ_{j} + ε_{i j}

$d_{ij}=\delta_j+\varepsilon_{ij}$

Моє запитання - які принципові відмінності між цими двома установками? Зокрема, якщо рівні самі по собі безглузді і має значення лише різниця, чи перша модель робить занадто багато і, можливо, недооцінена?

— Ронан Далі
джерело

Я можу дати більш ґрунтовну відповідь пізніше, але я б припустив, що цей документ Пол Еллісон буде цікавим ( Allison, 1990 ).

— Andy W

Відредаговано так, щоб відображати той факт, що помилки в різних моделях насправді не однакові, а отже, не слід використовувати однакові символи.

— Ронан Далі

The $\epsilon_{ij}$ ймовірно, вони будуть корельованими у другій моделі, але не в першій.

По-перше, ці терміни представляють похибку вимірювання та відхилення від адитивної моделі. При розумній обережності - наприклад, шляхом рандомізації послідовності вимірювань - ці помилки можна зробити незалежними, коли модель точна. Звідси

d_{i j} = Y_{i j} - Y_{i 0} = γ_{i} + δ_{j} + ϵ_{i j} - (γ_{i} + δ_{0} + ϵ_{i 0}) = δ_{j} + (ϵ_{i j} - ϵ_{i 0}) .

$d_{ij} = Y_{ij} - Y_{i0} = \gamma_i + \delta_j + \epsilon_{ij} - (\gamma_i + \delta_0 + \epsilon_{i0}) = \delta_j + (\epsilon_{ij} - \epsilon_{i0}).$

(Зауважте, що це суперечить останньому рівнянню у питанні, оскільки це неправильно вважати $\epsilon_{i0}=0$ . Це може змусити нас визнати це $\gamma_i$ є випадковими змінними, а не параметрами, принаймні один раз ми визнаємо можливість помилки вимірювання для управління. Це призведе до тих же висновків нижче.)

Для $j, k \ne 0$ , $j \ne k$ це означає

C o v (d_{i j}, d_{i k}) = C o v (ϵ_{i j} - ϵ_{i 0}, ϵ_{i k} - ϵ_{i 0}) = V a r (ϵ_{i 0}) \neq 0.

$Cov(d_{ij}, d_{ik}) = Cov(\epsilon_{ij} - \epsilon_{i0}, \epsilon_{ik} - \epsilon_{i0}) = Var(\epsilon_{i0}) \ne 0.$

Кореляція може бути істотною. Для помилок iid аналогічний розрахунок показує, що він дорівнює 0,5. Якщо ви не використовуєте процедур, які явно і правильно обробляють цю кореляцію, надайте перевагу першій моделі над другою.

— дзижчати
джерело

Отже, ви припустили, що перша модель є справжньою моделлю і отримала небажану властивість другої моделі. Ми знаємо, що всі моделі помиляються, чи справді цей результат має значення?

— Макрос

@Macro Прочитайте більш уважно мою відповідь: вона створена, щоб показати, які припущення потрібні для обґрунтування першої моделі та відмежування її від другої, але не містить припущень про те, що будь-яка модель є "правдою". Наприклад, зверніть увагу на застереження "коли модель є точною". Навіть слово "точне" було обрано з певною думкою, щоб уникнути помилкового враження, що існує "справжня" чи "правильна" модель.

— whuber

Я трохи розгублений, що таке

d_{i k}

$d_{ik}$ ?

— Енді Ш

@Andy

j

$j$ і

k

$k$ індексувати два різних способи лікування. Я мав би написати «За

j, k \neq 0

$j,k \ne 0$ ... "; я

— виправлю

@whuber Чи є посилання, які підтримують вашу заяву, наприклад, щоб переконати рецензентів?

— Даніель