У мене лінійка найкраще підходить. Мені потрібні точки даних, які не змінять мою лінію найкращим чином

Я веду презентацію про примірні лінії. У мене проста лінійна функція, $y=1x+b$ . Я намагаюся отримати розрізнені точки даних, які я можу розмістити в діаграмі розкидання, що дозволить моїй лінії найкраще відповідати тому ж рівнянню.

Я хотів би вивчити цю техніку або в R, або в Excel - залежно від того, що легше.

Виберіть будь-який $(x_i)$ умови, що принаймні два з них відрізняються. Встановіть перехоплення $\beta_0$ і нахил $\beta_1$ і визначте

Такий підхід ідеальний. Не змінюючи придатність, ви можете змінити $y_0$ до $y = y_0 + \varepsilon$ , додавши до неї будь-який вектор помилки $\varepsilon=(\varepsilon_i)$ за умови, що він є ортогональним як вектору $x = (x_i)$ і постійному вектору $(1,1,\ldots, 1)$ . Найпростішим способом отримати таку помилку є вибір будь-якого вектора $e$ і нехай $\varepsilon$ - залишки після регресування $e$проти $x$ . У наведеному нижче коді $e$ формується як набір незалежних випадкових нормальних значень із середнім значенням $0$ та загальним стандартним відхиленням.

Крім того, ви можете навіть попередньо вибрати кількість розкиду, можливо, встановивши, яким повинен бути $R^2$ . Нехай $\tau^2 = \text{var}(y_i) = \beta_1^2 \text{var}(x_i)$ , змінює масштаб цих залишків, щоб вони мали різницю

Цей метод є повністю загальним: усі можливі приклади (для заданого набору $x_i$ ) можна створити таким чином.

Приклади

Квартет Анскомба

Ми можемо легко відтворити квартет Anscombe з чотирьох якісно відмінних двовимірних наборів даних, що мають однакову описову статистику (через другий порядок).

Код надзвичайно простий і гнучкий.

set.seed(17)
rho <- 0.816                                             # Common correlation coefficient
x.0 <- 4:14
peak <- 10
n <- length(x.0)

# -- Describe a collection of datasets.
x <- list(x.0, x.0, x.0, c(rep(8, n-1), 19))             # x-values
e <- list(rnorm(n), -(x.0-peak)^2, 1:n==peak, rnorm(n))  # residual patterns
f <- function(x) 3 + x/2                                 # Common regression line

par(mfrow=c(2,2))
xlim <- range(as.vector(x))
ylim <- f(xlim + c(-2,2))
s <- sapply(1:4, function(i) {
  # -- Create data.
  y <- f(x[[i]])                                         # Model values
  sigma <- sqrt(var(y) * (1 / rho^2 - 1))                # Conditional S.D.
  y <- y + sigma * scale(residuals(lm(e[[i]] ~ x[[i]]))) # Observed values

  # -- Plot them and their OLS fit.
  plot(x[[i]], y, xlim=xlim, ylim=ylim, pch=16, col="Orange", xlab="x")
  abline(lm(y ~ x[[i]]), col="Blue")

  # -- Return some regression statistics.
  c(mean(x[[i]]), var(x[[i]]), mean(y), var(y), cor(x[[i]], y), coef(lm(y ~ x[[i]])))
})
# -- Tabulate the regression statistics from all the datasets.
rownames(s) <- c("Mean x", "Var x", "Mean y", "Var y", "Cor(x,y)", "Intercept", "Slope")
t(s)

Вихід дає описову статистику другого порядку для даних $(x,y)$ для кожного набору даних. Усі чотири лінії однакові. Ви можете легко створити більше прикладів, змінивши x(x-координати) та e(шаблони помилок) на самому початку.

Моделювання

R$y$$\beta=(\beta_0,\beta_1)$$R^2$$0 \le R^2 \le 1$$x$

simulate <- function(x, beta, r.2) {
  sigma <- sqrt(var(x) * beta[2]^2 * (1/r.2 - 1))
  e <- residuals(lm(rnorm(length(x)) ~ x))
  return (y.0 <- beta[1] + beta[2]*x + sigma * scale(e))
}

(Перенести це в Excel було б непросто - але це боляче.)

$(x,y)$$60$ $x$$\beta=(1,-1/2)$$1$$-1/2$$R^2 = 0.5$

n <- 60
beta <- c(1,-1/2)
r.2 <- 0.5   # Between 0 and 1

set.seed(17)
x <- rnorm(n)

par(mfrow=c(1,4))
invisible(replicate(4, {
  y <- simulate(x, beta, r.2)
  fit <- lm(y ~ x)
  plot(x, y)
  abline(fit, lwd=2, col="Red")
}))

summary(fit)$R^2$$x_i$