Чи має це дискретний розподіл назву?

Чи має це дискретний розподіл назву? Для $i \in 1...N$

$f(i) = \frac{1}{N} \sum_{j = i}^N \frac{1}{j}$

Я натрапив на цей розподіл із наступного: у мене є список з $N$ елементів, ранжируваних за деякою функцією утиліти. Я хочу випадковим чином вибрати один із елементів, спрямовуючись на початок списку. Отже, я спочатку вибираю індекс $j$ між 1 і $N$ рівномірно. Потім я вибираю елемент між індексами 1 і $j$ . Я вважаю, що цей процес призводить до вищезазначеного розподілу.

— Том
джерело

Це не розподіл: він не нормалізується.

— whuber

@whuber Я подумав про це спочатку (і прокоментував це ще до того, як зрозумів, що я неправильно зрозумів та видалив коментар), але виявилося, що я неправильно зрозумів це визначення. Якщо у мене немає подальшого непорозуміння, це нормалізована функція масової ймовірності.

— Glen_b -Встановіть Моніку

Це нормалізується. 1/1 з’явиться в сумі рівно один раз (це буде в f (1)). 1/2 з’явиться рівно двічі (це буде у f (1) та f (2)). і т.д. Отже, сума всіх цих сум буде N, а нормалізуюча константа відображається як 1 / N. перевіряє.

— rcorty

Більше того, я не знаю, як називається цей дистрибутив. Я також не знаю, як описаний вами процес призводить до цього дистрогу. Я вважав, що це звучить як дискретна версія процесу розбиття палиць, яка дуже гугла.

— rcorty

@Glen_b Дякую Я читав це на мій телефон, який не чинив

f

$f$ досить чітко.

— whuber

Відповіді:

У вас є дискретизована версія розподілу негативного журналу, тобто дистрибутива, підтримка якого $[0, 1]$ і pdf якого $f(t) = - \log t$ .

Щоб побачити це, я збираюся переосмислити вашу випадкову змінну для отримання значень у множині замість і викликати результуючий розподіл . Тоді, моя вимога така $\{ 0, 1/N, 2/N, \ldots, 1 \}$ $\{0, 1, 2, \ldots, N \}$ $T$

П r (Т = \frac{т}{N}) \to - \frac{1}{N} журнал (\frac{т}{N})

$Pr\left( T = \frac{t}{N} \right) \rightarrow - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$

як тоді як утримується (приблизно) постійною. $N, t \rightarrow \infty$ $\frac{t}{N}$

По-перше, невеликий імітаційний експеримент, що демонструє цю конвергенцію. Ось невелика реалізація вибірки з вашого розповсюдження:

t_sample <- function(N, size) {
  bounds <- sample(1:N, size=size, replace=TRUE)
  samples <- sapply(bounds, function(t) {sample(1:t, size=1)})
  samples / N
}

Ось гістограма великого зразка, взятого з вашого розповсюдження:

ss <- t_sample(100, 200000)
hist(ss, freq=FALSE, breaks=50)

введіть тут опис зображення

і ось логарифмічний PDF-файл накладений:

linsp <- 1:100 / 100
lines(linsp, -log(linsp))

введіть тут опис зображення

Щоб зрозуміти, чому виникає така конвергенція, почніть з свого вираження

П r (Т = \frac{т}{N}) = \frac{1}{N} \sum_{j = т}^{N} \frac{1}{j}

$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{1}{j}$

і помножити і ділити на $N$

П r (Т = \frac{т}{N}) = \frac{1}{N} \sum_{j = т}^{N} \frac{N}{j} \frac{1}{N}

$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{N}{j} \frac{1}{N}$

Підсумовування тепер є ріманською сумою для функції , інтегрованої від до . Тобто для великих , $g(x) = \frac{1}{x}$ $\frac{t}{N}$ $1$ $N$

П r (Т = \frac{т}{N}) \approx \frac{1}{N} \int_{\frac{т}{N}}^{1} \frac{1}{х} г х = - \frac{1}{N} журнал (\frac{т}{N})

$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) \approx \frac{1}{N} \int_{\frac{t}{N}}^1 \frac{1}{x} dx = - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$

яке вираження я хотів досягти.

— Метью Друрі
джерело

Ви надзвичайно раді. Це було чудове питання, і мені було дуже цікаво опрацювати це.

— Метью Друрі

Це, мабуть, пов'язане з розповсюдженням Вітворта. (Я не вірю, що це розподіл Вітворта, оскільки, якщо я пам'ятаю правильно, це розподіл набору впорядкованих значень, але, здається, це пов'язано з ним і спирається на ту саму схему підсумовування.)

Існує деяка дискусія про Вітворт (та численні посилання) у

Ентоні Лоуренс та Роберт Маркс (2008)
"Розподіл фірм за розміром у галузі з обмеженими ресурсами", "
Прикладна економіка" , т. 40, випуск 12, сторінки 1595-1607

(Здається, тут є версія робочого паперу )

Також див

Ненсі Л Геллер, (1979)
Тест на значення для розповсюдження Вітворта,
Журнал Американського товариства інформатики , т. 30 (4), с.229-231

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

Щоб зробити цю відповідь самодостатньою, ви могли б дати визначення розповсюдження Вітворта і, можливо, надати кілька слів пояснень стосовно зв’язку, який ви бачите?

— whuber

@whuber Так, це має бути коментар, як він є. Я відредагую деякі деталі, але це закінчиться набагато довше.

— Glen_b -Встановіть Моніку

Просто якесь визначення було б добре.

— whuber

Дякую, це було зрозуміло, але все-таки такий буде результат.

— Glen_b -Встановити Моніку