Різниця двох ідентичних лонормальних випадкових величин

Нехай $X_1$ і - 2 iidrv, де . Я хотів би знати розподіл для .$X_2$$\log(X_1),\log(X_2) \sim N(\mu,\sigma)$$X_1 - X_2$

Найкраще, що я можу зробити, це взяти ряд Тейлора обох і зрозуміти, що різниця - це сума різниці між двома нормальними rv і двома r-chi квадратами на додаток до решти різниці між рештою термінів. Чи існує більш прямий спосіб отримати розподіл різниці між двома iid log-normal rv?

Це складна проблема. Спочатку я подумав про використання (деякого наближення) функції, що генерує момент, для лонормального розподілу. Як я поясню, це не працює. Але спочатку кілька позначень:

Нехай - стандартна нормальна щільність і Φ відповідна кумулятивна функція розподілу. Проаналізуємо лише випадок логічного нормального розподілу l n N ( 0 , 1 ) , який має функцію щільності f ( x ) = $\phi$$\Phi$$lnN(0,1)$ і функція кумулятивного розподілу F(x)=Φ(lnx) Припустимо,Xіє незалежними випадковими величинами з вищенаведеним логічним нормальним розподілом. Нас цікавить розподілє. Отже, функція, що генерує момент для

$$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}x} e^{-\frac12 (\ln x)^2}$$ $$F(x) =\Phi(\ln x)$$ $X$D = X - Y M ( t ) = E e t X X t ∈ ( - ∞ , 0 ] D M D ( t ) = E e t ( X - Y ) = E e t X E e - t Y = M ( t ) M ( - t ) D $Y$$D=X-Y$ , який є симетричним розподілом із середнім нулем. Нехай виробляє момент функція . Він визначається лише для , тому не визначається у відкритому інтервалі, що містить нуль. Функція генерування моменту для$M(t) = \DeclareMathOperator{\E}{E} \E e^{tX}$$X$$t\in (-\infty,0]$$D$$M_D(t)=\E e^{t(X-Y)}= \E e^{tX} \E e^{-tY}= M(t)M(-t)$$D$ визначається лише для , тому не дуже корисна.$t=0$

Це означає , що нам будуть потрібні більш прямий підхід для знаходження апроксимації для розподілу . Припустимо, , обчислити (і випадок розв’язується симетрією, отримуємо ). t ≥ 0 P ( D ≤ t $D$$t\ge 0$

$$\begin{align} P(D \le t) &= P(X-Y\le t) \\ &= \int_0^\infty P(X-y\le t | Y=y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty P(X\le t+y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty F(t+y) f(y) \; dy \end{align}$$ $t<0$$P(D\le t)=1-P(D\le |t|)$

Цей вираз може бути використаний для чисельної інтеграції або як основа для моделювання. Перший тест:

 integrate(function(y) plnorm(y)*dlnorm(y), lower=0,  upper=+Inf)
  0.5 with absolute error < 2.3e-06

що явно правильно. Давайте завершимо це всередині функції:

pDIFF  <-  function(t) {
    d  <-  t
    for (tt in seq(along=t)) {
        if (t[tt] >= 0.0) d[tt] <- integrate(function(y) plnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                         lower=0.0,  upper=+Inf)$value else
                          d[tt] <- 1-integrate(function(y) plnorm(y+abs(t[tt]))*dlnorm(y),
                                         lower=0.0, upper=+Inf)$value
    }
    return(d)
}

> plot(pDIFF,  from=-5,  to=5)

що дає:

Тоді ми можемо знайти функцію щільності, диференціюючи під цілісним знаком, отримуючи

dDIFF  <-  function(t) {
       d  <- t; t<- abs(t)
       for (tt in seq(along=t)) {
           d[tt]  <-  integrate(function(y) dlnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                lower=0.0,  upper=+Inf)$value
       }
       return(d)
}

яку ми можемо перевірити:

> integrate(dDIFF,  lower=-Inf,  upper=+Inf)
0.9999999 with absolute error < 1.3e-05

І будуючи густину, ми отримуємо:

plot(dDIFF,  from=-5,  to=5)

Я також намагався отримати деяке аналітичне наближення, але поки це не вдалося, це непроста проблема. Але чисельна інтеграція, як зазначено вище, запрограмована в R дуже швидко на сучасному обладнанні, тому є хорошою альтернативою, яку, мабуть, слід використовувати набагато більше.

Це не відповідає чітко на ваше запитання, але чи не було б легше подивитися на співвідношення і$X$$Y$ ? Тоді ви просто приїжджаєте

$$\begin{align} \Pr\left(\frac{X}{Y} \leq t\right) &= \Pr\left(\log\left(\frac{X}{Y}\right) \leq \log(t) \right) \\ &= \Pr(\log(X) - \log(Y) \leq \log(t)) \\ &\sim \mathcal{N}(0, 2 \sigma^2) \end{align}$$

Залежно від вашої заявки, це може відповідати вашим потребам.