Виведення задньої частини Норма-Вішарта


11

Я працюю над виведенням задньої частини Normal-Wishart, але я застряг у одному з параметрів (задній частині матриці шкали, див. Внизу).

Тільки для контексту та повноти, ось модель та решта похідних:

xiN(μ,Λ)μN(μ0,(κ0Λ)1)ΛW(υ0,W0)

Розширеними формами кожного з трьох факторів є (до постійної пропорційності) є:

  • Ймовірність:

    N(xi|μ,Λ)|Λ|N/2exp(12i=1N(xiTΛxi2μTΛxi+μTΛμ))
  • Звичайний попередній час:

    N(μ|(μ0,κ0Λ)1)|Λ|1/2exp(12(μTκ0Λμ2μTκ0Λμ0+μ0Tκ0Λμ0))
  • Попереднє завдання:

    W(Λ|υ0,W0)|Λ|υ0D12exp(12tr(W01Λ))

Ми хочемо заднього Normal-Wishart ( ), який можна розкласти як а також :μ,Λ|μ,κ,υ,WN(μ|μ,κΛ)W(Λ|υ,W)

Погіршення свободиυ

Об'єднуючи перші чинники ймовірності та Вішарта, ми отримуємо перший фактор коефіцієнта Вішарта в задній частині: і тому у нас є перший параметр заднього:

|Λ|υ0+ND12
υ=υ0+N

Коефіцієнт масштабуκ

Ми ідентифікуємо елементи, оточені і щоб дізнатися, хто попередньо оновлює ймовірність: і тому ми отримали другий параметр: μTμκ0Λ

μT((κ0+N)Λ)μ
κ=κ0+N

Середнійμ

Треті параметри походять від визначення того, що знаходиться всередині : І тому ми отримали третій параметр: 2μT...

2μT(ΛNx¯+κ0Λμ0)=2μTκΛμ(ΛNx¯+κ0Λμ0)=κΛμ(Nx¯+κ0μ0)=κμ
μ=1k(Nx¯+κ0μ0)

Матриця масштабуW

І четвертий параметр відбувається від роботи над рештою параметрами:

tr(W1Λ)=tr(W01Λ)+i=1NxiTΛxi+μ0Tκ0Λμ0=tr(W01Λ)+i=1Ntr(xiTΛxi)+tr(μ0Tκ0Λμ0)=tr(W01Λ+i=1NxiTΛxi+μ0Tκ0Λμ0)

Як продовжуватись звідси (якщо я досі не помилявся) і отримати стандартне рішення для ?W

Редагувати 1 :

Тепер ми перевпорядковуємо умови, додаємо та підбиваємо деякі фактори, щоб отримати два квадрати, як у стандартному рішенні:

tr(W1Λ)=tr(W1Λ+i=1N(xiTΛxi+x¯TΛx¯2xiTΛx¯)+κ0(μ0TΛμ0+x¯TΛx¯2x¯TΛμ0)i=1Nx¯TΛx¯+2i=1NxiTΛx¯κ0x¯TΛx¯+2κ0x¯TΛμ0)=tr(W1Λ+i=1N(xix¯)Λ(xix¯)T+κ0(x¯μ0)Λ(x¯μ0)TNx¯Λx¯T+2Nx¯Λx¯Tκ0x¯Λx¯T+2κ0x¯Λμ0T)

Ми спростимо фактори, які залишаються поза квадратами:

tr(W1Λ)=tr(W1Λ+i=1N(xix¯)TΛ(xix¯)+κ0(x¯μ0)TΛ(x¯μ0)+(Nκ0)x¯TΛx¯+2κ0x¯TΛμ0)

Редагувати 2 ( продовжити завдяки відповіді @bdeonovic )

Слід циклічний, тому . Тоді: а потім: tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)

tr(W1Λ)=tr(W1Λ+i=1N(xix¯)(xix¯)TΛ+κ0(x¯μ0)(x¯μ0)TΛ+(Nκ0)x¯x¯TΛ+2κ0x¯μ0TΛ)
tr(W1)=tr(W1+i=1N(xix¯)(xix¯)T+κ0(x¯μ0)(x¯μ0)T+(Nκ0)x¯x¯T+2κ0x¯μ0T)

Майже! Але все одно там немає. Мета:

W1+i=1N(xix¯)(xix¯)T+κ0Nκ0+N(x¯μ0)(x¯μ0)T

Відповіді:


4

Слід циклічний, тому . Також слід розподіляє по доданню так, що . За допомогою цих фактів ви повинні мати змогу термін на задній план у термінах сліду, поєднати терміни сліду разом. Результат повинен виглядати приблизно якtr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)Λ

W1=W1+i=1Nxixi+μ0μ0

Дякую! але я не бачу, як звідти дістатись до стандартних результатів ( en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_prior ), що містить та . У мене навіть немає негативних ознак: О(xix¯)x¯μ0
Альберто

3

Ймовірність до цього є ×

|Λ|N/2exp{12(i=1NxiTΛxiNx¯TΛμμTΛNx¯+NμTΛμ)}×|Λ|(ν0D1)/2exp{12tr(W01Λ)}×|Λ|1/2exp{κ02(μTΛμμTΛμ0μ0TΛμ+μ0TΛμ0)}.
Це можна переписати як Ми можемо переписати
|Λ|1/2|Λ|(ν0+ND1)/2×exp{12((κ0+N)μTΛμμTΛ(κ0μ0+Nx¯)(κ0μ0+Nx¯)TΛμ+κ0μ0TΛμ0+i=1NxiTΛxi+tr(W01Λ))}
(κ0+N)μTΛμμTΛ(κ0μ0+Nx¯)(κ0μ0+Nx¯)TΛμ+κ0μ0TΛμ0+i=1NxiTΛxi+tr(W01Λ)
, додаючи та віднімаючи термін:
(κ0+N)μTΛμμTΛ(κ0μ0+Nx¯)(κ0μ0+Nx¯)TΛμ+1κ0+N(κ0μ0+Nx¯)TΛ(κ0μ0+Nx¯)1κ0+N(κ0μ0+Nx¯)TΛ(κ0μ0+Nx¯)+κ0μ0TΛμ0+i=1NxiTΛxi+tr(W01Λ).
Два верхні рядки тепер поділяються як
(κ0+N)(μκ0μ+Nx¯κ0+N)TΛ(μκ0μ+Nx¯κ0+N).

Додавання і віднімання , наступне: можна переписати як Nx¯TΛx¯

1κ0+N(κ0μ0+Nx¯)TΛ(κ0μ0+Nx¯)+κ0μ0TΛμ0+i=1NxiTΛxi+tr(W01Λ)
i=1N(xiTΛxixiTΛx¯x¯TΛxi+x¯TΛx¯)+Nx¯TΛx¯+κ0μ0TΛμ01κ0+N(κ0μ0+Nx¯)TΛ(κ0μ0+Nx¯)+tr(W01Λ).
Сумний термін
i=1N(xiTΛxixiTΛx¯x¯TΛxi+x¯TΛx¯)
дорівнює Тепер можна розширити як
i=1N(xix¯)TΛ(xix¯).
Nx¯TΛx¯+κ0μ0TΛμ01κ0+N(κ0μ0+Nx¯)TΛ(κ0μ0+Nx¯)
Nx¯TΛx¯+κ0μ0TΛμ01κ0+N(κ02μ0TΛμ0+Nκ0μ0TΛx¯0+Nκ0x¯TΛμ0+N2x¯TΛx¯),
що дорівнює
Nκ0κ0+N(x¯TΛx¯x¯TΛμ0μ0TΛx¯+μ0TΛμ0)=Nκ0κ0+N(x¯μ0)TΛ(x¯μ0).

Наступні два терміни є скалярами: І будь-який скаляр дорівнює його сліду, тому

i=1N(xix¯)TΛ(xix¯),Nκ0κ0+N(x¯μ0)TΛ(x¯μ0).
tr(W01Λ)+i=1N(xix¯)TΛ(xix¯)+Nκ0κ0+N(x¯μ0)TΛ(x¯μ0)
можна переписати як Оскільки , зазначена вище сума дорівнює
tr(W01Λ)+tr(i=1N(xix¯)TΛ(xix¯))+tr(Nκ0κ0+N(x¯μ0)TΛ(x¯μ0)).
tr(ABC)=tr(CAB)
tr(W01Λ)+tr(i=1N(xix¯)(xix¯)TΛ)+tr(Nκ0κ0+N(x¯μ0)(x¯μ0)TΛ).
Використовуючи той факт, що , ми можемо переписати суму як tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
tr(W01Λ+i=1N(xix¯)(xix¯)TΛ+Nκ0κ0+N(x¯μ0)(x¯μ0)TΛ)=tr((W01+i=1N(xix¯)(xix¯)T+Nκ0κ0+N(x¯μ0)(x¯μ0)T)Λ).

Збираючи все це разом, якщо дозволити маємо, що ймовірність до цього дорівнює S=i=1N(xix¯)(xix¯)T×

|Λ|1/2exp{κ0+N2(μκ0μ+Nx¯κ0+N)TΛ(μκ0μ+Nx¯κ0+N)}×|Λ|(ν0+ND1)/2exp{12tr((W01+S+Nκ0κ0+N(x¯μ0)(x¯μ0)T)Λ)},
як потрібно.
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.