Що таке довгострокова дисперсія?

Як визначається довгострокова дисперсія в області аналізу часових рядів?

Я розумію, він використовується в тому випадку, якщо в даних є структура кореляції. Отже, наш стохастичний процес не був би сімейством iid випадкових змінних, а лише ідентично розподіленим? $X_1, X_2 \dots$

Чи можу я мати стандартне посилання як вступ до концепції та труднощі, пов'язані з її оцінкою?

— Моноліт
джерело

пов'язані: stats.stackexchange.com/questions/154070/…

— Тейлор

Це показник стандартної похибки середньої вибірки, коли є послідовна залежність.

Якщо є коваріаційним стаціонарним з і (в налаштуваннях ця кількість буде дорівнює нулю!), Така що . Тоді де перша рівність є визначальною , другий трохи складніше встановити, а третій - наслідок стаціонарності, що означає, що . $Y_t$ $E(Y_t)=\mu$ $Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$ $\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$

lim_{T \to \infty} {V a r [\sqrt{T} ({\bar{Y}}_{T} - μ)]} = lim_{T \to \infty} {T E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2}} = \sum_{j = - \infty}^{\infty} γ_{j} = γ_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{\infty} γ_{j},

$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$

γ_{j} = γ_{- j}

$\gamma_j=\gamma_{-j}$

Тож проблема справді в недостатній незалежності. Щоб побачити це більш чітко, запишіть дисперсію середнього зразка як

\begin{aligned} E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2} & = E {[(1 / T) \sum_{t = 1}^{T} (Y_{t} - μ)]}^{2} \\ = 1 / T^{2} E [{(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)} \\ {(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)}] \\ = 1 / T^{2} {[γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 1}] + [γ_{1} + γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 2}] \\ + \dots + [γ_{T - 1} + γ_{T - 2} + \dots + γ_{1} + γ_{0}]} \end{aligned}

$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$

Проблема в оцінці довгострокової дисперсії полягає в тому, що ми, звичайно, не дотримуємося всіх автоковаріантів з кінцевими даними. Ядро (в економетриці, "Newey-West" або HAC-оцінювачах) використовується для цього,

\hat{J_{T}} \equiv {\hat{γ}}_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{T - 1} k (\frac{j}{ℓ_{T}}) {\hat{γ}}_{j}

$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$

k

$k$ - це ядро або функція зважування, є зразком автоковаріацій. , крім усього іншого, має бути симетричним і мати . - параметр пропускної здатності.

{\hat{γ}}_{j}

$\hat\gamma_j$

k

$k$

k (0) = 1

$k(0)=1$

ℓ_{T}

$\ell_T$

Популярне ядро - це ядро Бартлетта Гарні посилання на підручник - це Гамільтон, Аналіз часових рядів або Фуллер . Навчальна (але технічна) стаття журналу - Newey and West, Econometrica 1987 .

k (\frac{j}{ℓ_{T}}) = {\begin{cases} (1 - \frac{j}{ℓ_{T}}) & for 0 ⩽ j ⩽ ℓ_{T} - 1 \\ 0 & for j > ℓ_{T} - 1 \end{cases}

$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$

— Крістоф Ганк
джерело

Дякую! Я перевірив аналіз часових рядів Гамільтона. Насправді це говорить про те, що непараметричний спосіб оцінювання спектру полягає у взятті середньозваженого коефіцієнта вибірки, але він не заглиблюється в математику, що стоїть за визначенням цього твердження. Чи можете ви запропонувати довідник або папір, що пояснює, чому це хороший оцінювач, коли розмір вибірки збільшується?

— Моноліт

гарна думка. Зробив кілька змін

— Крістоф Ганк

Можливо, варто згадати, що другий ("хитрий") крок вимагає домінуючої конвергенції (див. Stats.stackexchange.com/questions/154070/… ).

— Тамас Ференці

@TamasFerenci, дякую за вказівник, я включив посилання.

— Крістоф Хенк

@Cristoph Hanck, ласкаво просимо, дякую за оновлення!

— Тамас Ференці