Чому дисперсія ходи випадкових збільшується?

Випадкова прогулянка , яка визначається як $Y_{t} = Y_{t-1} + e_t$ , де $e_t$ є білим шумом. Позначає, що поточна позиція - це сума попередньої позиції + непередбачуваний термін.

Можна довести , що середня функція $\mu_t = 0$ , так як $E(Y_{t}) = E(e_1+ e_2+ ... +e_t) = E(e_1) + E(e_2) +... +E(e_t) = 0 + 0 + ... + 0$

Але чому так, що дисперсія з часом збільшується лінійно?

Чи має це щось спільне з не "чистим" випадковим випадком, оскільки нова позиція дуже корелює з попередньою?

Редагувати:

Тепер я набагато краще розумію, візуалізуючи великий зразок випадкових прогулянок, і тут ми можемо легко помітити, що загальна дисперсія з часом зростає ,

а середнє значення очікується близько нуля.

Можливо, це було банально, адже на самих ранніх етапах часового ряду (порівняйте час = 10, зі 100) випадкові ходуни ще не встигли вивчити стільки.

Якщо коротко, тому що він додає дисперсію наступних приростів до мінливості, яку ми маємо, щоб дістатися до того, де ми зараз є.

$\text{Var}(Y_{t}) = \text{Var}(e_1+ e_2+ ... +e_t)$
$\qquad\quad\;\;= \text{Var}(e_1) + \text{Var}(e_2) +... +\text{Var}(e_t)$ (незалежність)
$\qquad\quad\;\;= \sigma^2 + \sigma^2 + ... + \sigma^2=t\sigma^2\,,$

і ми можемо бачити, що $t\sigma^2$ лінійно зростає з $t$ .

Середнє значення дорівнює нулю в кожній часовій точці; якщо ви моделювали серію багато разів і усереднювались по серіях за певний час, це буде в середньому до чогось близько 0

$\quad^{\text{Figure: 500 simulated random walks with sample mean in white and }}$
$\quad^{ \pm \text{ one standard deviation in red. Standard deviation increases with } \sqrt{t}\,.}$

$e_i$$e_i$

це просто спрощує візуалізацію, немає нічого насправді принципового в перемикачі, крім послаблення напруги нашої уяви.

Тепер, припустимо, ви зібрали армію монетних ластів. Їх вказівки полягають у тому, щоб, за вашим розпорядженням, перевернути монету, а також продовжувати працювати, підсумовуючи їх результати, разом із підсумком усіх попередніх результатів. Кожен окремий ласти - це примірник випадкової прогулянки

і агрегування по всій вашій армії повинно сприймати очікувану поведінку.

flip 1$W$$1$$-1$$2$

flip 2$W$$HH$$TT$$W$$2$$-2$$4$

...

flip n$W$$HH \cdots H$$TT \cdots T$$n$$n$$2n$

Отже, ось що ви можете бачити з цього мисленого експерименту:

• Очікування прогулянки дорівнює нулю, оскільки кожен крок у прогулянці збалансований.
• Загальна дальність прогулянки зростає лінійно з довжиною прогулянки.

Щоб відновити інтуїцію, нам довелося відмовитися від стандартного відхилення і використовувати в інтуїтивному вимірі діапазон.

Чи має це щось спільне з не "чистим" випадковим випадком, оскільки нова позиція дуже корелює з попередньою?

Видається, що під "чистим" ви маєте на увазі незалежність . У випадковому ході лише кроки є випадковими та незалежними один від одного. Як ви зазначали, "позиції" є випадковими, але корельованими , тобто не незалежними .

$E[Y_t]=0$$Y_t$$Y_t$

$Y_t=Y_0+\sum_{i=0}^t\varepsilon_t$

$Y_t-Y_{t-1}=\mu+\varepsilon_t$$Y_t$$\mu t$

Візьмемо інший приклад для інтуїтивного пояснення: кидати дротики на дартс. У нас є гравець, який намагається націлитись на бичаче око, яке ми вважаємо координатою під назвою 0. Гравець кидає кілька разів, і справді, середнє значення його кидків дорівнює 0, але він не дуже хороший, тому варіація становить 20 див.

Ми просимо гравця кинути єдиний новий дартс. Ти очікуєш, що це вдарить бичаче око?

Ні. Хоча середнє значення є саме бичачим оком, коли ми відбираємо кидок, цілком ймовірно, що це не бичне око.

$t$

Однак якщо ми візьмемо багато зразків, ми побачимо, що він робить центр близько 0. Так само, як наш гравець у дартс майже ніколи не вдариться в бичаче око (велика дисперсія), але якщо він кине багато дротиків, він матиме їх по центру навколо бичачого ока (середнє).

Якщо ми поширимо цей приклад на випадкову прогулянку, ми можемо побачити, що дисперсія зростає з часом, навіть якщо середнє значення залишається на рівні 0. У випадку випадкової прогулянки здається дивним, що середнє значення залишається на рівні 0, хоча ви інтуїтивно знаєте що він майже ніколи не закінчується саме в походження. Однак те ж саме стосується і нашої дартри: ми можемо побачити, що будь-який єдиний дротик майже ніколи не вразить бичаче око зі зростаючою дисперсією, і все-таки дротики сформують гарну хмару навколо бичачого ока - середнє значення залишається таким же: 0.

Ось ще один спосіб отримати інтуїцію, що дисперсія лінійно збільшується з часом.

$.1\%$$1.2\%$$X$$365X$

$.1\%$$\pm .05\%$$1.2\%$$\pm .6\%$

Ну, якщо ми інтуїтивно вважаємо дисперсію як діапазон, то інтуїтивно зрозуміло, що дисперсія зростає так само, як і повернення через час, тобто лінійно.