Варіантність продукту залежних змінних

31

Яка формула дисперсії продукту залежних змінних?

У випадку незалежних змінних формула проста:

v a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - E (X Y)^{2} = v a r (X) v a r (Y) + v a r (X) E (Y)^{2} + v a r (Y) E (X)^{2}

${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2} = {\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^2 + {\rm var}(Y)E(X)^2$ Але яка формула для корельованих змінних?

До речі, як я можу знайти кореляцію на основі статистичних даних?

correlation variance

— Рига
джерело

32

Ну, використовуючи знайомий вам ідентичність,

v a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - E (X Y)^{2}

${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2}$

Використовуючи аналогічну формулу коваріації,

E (X^{2} Y^{2}) = c o v (X^{2}, Y^{2}) + E (X^{2}) E (Y^{2})

$E(X^{2}Y^{2}) = {\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + E(X^2)E(Y^2)$

і

E (X Y)^{2} = [c o v (X, Y) + E (X) E (Y)]^{2}

$E(XY)^{2} = [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$

з чого випливає, що загалом ${\rm var}(XY)$ можна записати як

c o v (X^{2}, Y^{2}) + [v a r (X) + E (X)^{2}] \cdot [v a r (Y) + E (Y)^{2}] - [c o v (X, Y) + E (X) E (Y)]^{2}

${\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + [{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$

Зауважимо, що у випадку незалежності ${\rm cov}(X^2,Y^2) = {\rm cov}(X,Y) = 0$ і це зводиться до

[v a r (X) + E (X)^{2}] \cdot [v a r (Y) + E (Y)^{2}] - [E (X) E (Y)]^{2}

$[{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ E(X)E(Y) ]^{2}$

і два терміни $[ E(X)E(Y) ]^{2}$ скасовуються, і ви отримуєте

v a r (X) v a r (Y) + v a r (X) E (Y)^{2} + v a r (Y) E (X)^{2}

${\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^{2} + {\rm var}(Y)E(X)^{2}$

як ви вказали вище.

Редагувати: Якщо все, що ви спостерігаєте, - це а не і окремо, то я не думаю, що існує спосіб оцінити або за винятком особливих випадків (наприклад, якщо мають засоби, відомі апріорі ) $XY$ $X$ $Y$ ${\rm cov}(X,Y)$ ${\rm cov}(X^2,Y^2)$ $X,Y$

— Макрос
джерело

2

чому ви ставите [var (X) + E (X) 2] ⋅ [var (Y) + E (Y) 2] замість E (X2) E (Y2) ???

1

@ user35458, тож він може закінчити рівняння як вираз var (X) і var (Y), таким чином, порівнянне з твердженням OP. Зауважте, що E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2.

— Вальдір Леонсіо

2

Щоб відповісти (офлайн) на видалений зараз виклик щодо обгрунтованості цієї відповіді, я порівняв її результати з прямим розрахунком дисперсії продукту у багатьох моделюваннях. Це не практична формула, яку можна використовувати, якщо ви можете її уникнути, оскільки вона може втратити значну точність через скасування відняття одного великого терміна від іншого - але це не в цьому. Одним з проблем, який слід остерігатися, є те, що це питання стосується випадкових змінних. Її результати стосуються даних, за умови обчислення дисперсій та коваріацій, використовуючи знаменники а не $n$ $n-1$ (як це звичайно для програмного забезпечення).

— whuber

14

Це доповнення до дуже приємної відповіді @ Макроса, яка визначає саме те, що потрібно знати, щоб визначити дисперсію добутку двох корельованих випадкових величин. Оскільки де , , , і

\begin{aligned} (1) & var (X Y) & = E [(X Y)^{2}] - {(E [X Y])}^{2} \\ = E [(X Y)^{2}] - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \\ (2) & = E [X^{2} Y^{2}] - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \\ (3) & = (cov (X^{2}, Y^{2}) + E [X^{2}] E [Y^{2}]) - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(XY) &= E\left[(XY)^2\right] - \left(E[XY]\right)^2 \tag{1}\\ &= E[(XY)^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\\ &= E[X^2Y^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{2}\\ &= \left(\operatorname{cov}(X^2,Y^2)+E[X^2]E[Y^2]\right) - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{3}\\ \end{align}$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

E [X]

$E[X]$

E [Y]

$E[Y]$

E [X^{2}]

$E[X^2]$

E [Y^{2}]

$E[Y^2]$ можна вважати відомими величинами, нам потрібно вміти визначати значення в або у . Це зробити непросто, але, як уже зазначалося, якщо і є незалежними випадковими змінними, то . Насправді, залежність, а не кореляція (чи їх відсутність) є ключовим питанням. З того, що ми знаємо, що дорівнює замість якогось ненульового значення, саме по собі,

E [X^{2} Y^{2}]

$E\left[X^2Y^2\right]$

(2)

$(2)$

cov (X^{2}, Y^{2})

$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$

(3)

$(3)$

X

$X$

Y

$Y$

cov (X, Y) = cov (X^{2}, Y^{2}) = 0

$\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(X^2,Y^2) = 0$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

0

$0$ допомога в крайней мере , в наших зусиллях визначення вартості або , навіть якщо він дійсно спрощувати праві частини і трохи.

E [X^{2} Y^{2}]

$E\left[X^2Y^2\right]$

cov (X^{2}, Y^{2})

$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$

(2)

$(2)$

(3)

$(3)$

Коли і є залежними випадковими величинами, то щонайменше в одному (досить загальному або досить важливому) особливому випадку, то це можна знайти значення відносно легко. $X$ $Y$ $E\left[X^2Y^2\right]$

Припустимо, що і - спільно нормальні випадкові величини з коефіцієнтом кореляції . Потім, кондиціонером на , то умовна щільність є нормальною щільності із середнім і дисперсія . Таким чином, $X$ $Y$ $\rho$ $X = x$ $Y$ $E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(x-E[X]\right)$ $\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2)$

\begin{aligned} E [X^{2} Y^{2} ∣ X] & = X^{2} E [Y^{2} ∣ X] \\ = X^{2} [var (Y) (1 - ρ^{2}) + {(E [Y] + ρ \sqrt{\frac{var (Y)}{var (X)}} (X - E [X]))}^{2}] \end{aligned}

$\begin{align}E[X^2Y^2 \mid X] &= X^2E[Y^2 \mid X]\\ &= X^2\left[\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2) + \left(E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(X-E[X]\right)\right)^2\right] \end{align}$ яка є квартовою функцією , скажімо, , а закон ітераційного очікування говорить нам, що де права частина може бути обчислена на основі знань про 3-й та 4-й моменти - стандартні результати, які можна знайти у багатьох текстах та довідниках (мається на увазі що я лінивий їх шукати і включати в цю відповідь).

X

$X$

g (X)

$g(X)$

\begin{matrix} (4) & E [X^{2} Y^{2}] = E [E [X^{2} Y^{2} ∣ X]] = E [g (X)] \end{matrix}

$E[X^2Y^2] = E\left[E[X^2Y^2\mid X]\right] = E[g(X)]\tag{4}$

(4)

$(4)$

X

$X$

Подальше доповнення: У видаленій зараз відповіді @Hydrologist надає дисперсію як і стверджує, що ця формула є з двох робіт, опублікованих півстоліття тому в JASA. Ця формула є невірною транскрипцією результатів у документах, що цитуються гідрологом. Зокрема, $XY$

\begin{matrix} (5) & V a r [x y] = {(E [x])}^{2} V a r [y] + {(E [y])}^{2} V a r [x] + 2 E [x] C o v [x, y^{2}] + 2 E [y] C o v [x^{2}, y] + 2 E [x] E [y] C o v [x, y] + C o v [x^{2}, y^{2}] - {(C o v [x, y])}^{2} \end{matrix}

$\mathrm{Var}\left[xy\right] = \left(\mathrm{E}\left[x\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[y\right] + \left(\mathrm{E}\left[y\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[x\right] + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right] + 2\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]\\ + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x,y\right] +\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right] - \left(\mathrm{Cov}\left[x,y\right]\right)^2 \tag{5}$

C o v [x^{2}, y^{2}]

$\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right]$ є неправильним у статті журналу, і аналогічно для та .

E [(x - E [x])^{2} (y - E [y])^{2}]

$E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]$

C o v [x^{2}, y]

$\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]$

C o v [x, y^{2}]

$\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right]$

— Діліп Сарват
джерело

Для обчислення у спільному звичайному випадку також див. Math.stackexchange.com/questions/668641/…

E (X^{2} Y^{2})

$E(X^2 Y^2)$

— Самуель Рід