Коли наближаються наближення ряду Тейлора до очікувань (цілих) функцій?

Візьмемо очікування форми для деякої одновимірної випадкової величини і цілої функції (тобто інтервал конвергенції - це вся реальна лінія) $E(f(X))$ $X$ $f(\cdot)$

У мене є функція, що генерує момент для і тому я можу легко обчислити цілі моменти. Скористайтеся рядом Тейлора навколо а потім застосуйте очікування у частині серії центральних моментів, цей ряд, $X$ $\mu \equiv E(x)$

E (f (x)) = E (f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots)

$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$

= f (μ) + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

E_{N} (f (x)) = f (μ) + \sum_{n = 2}^{N} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

Моє запитання: за яких умов у випадковій змінній (а також що-небудь додаткове на $f(\cdot)$ також наближається очікування, коли я додаю терміни (тобто $\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$ ).

Оскільки, здається, для мого випадку не збігається (випадкова величина Пуассона і $f(x) = x^{\alpha}$ ), чи існують інші прийоми для пошуку приблизних очікувань із цілими моментами, коли ці умови провалюються?

expected-value approximation

— jlperla
джерело

дивіться тут: stats.stackexchange.com/questions/70490/…

— Джонатан

@Jonathan Дякую Перегляньте мої зміни зараз, коли це стало зрозумілішим. Дуже корисно, хоча я не міг зовсім зламати його. З цього випливає, що достатньою умовою для цього є те, що моя випадкова величина сильно зосереджена? Хоча у мене виникають проблеми з чітко розібратися, як використовувати нерівність Хоффдінга тощо для порівняння з цими замітками.

— jlperla

Що ви маєте на увазі "випадкова величина Пуассона і "? Це один випадок чи два, а що таке pdf?

f (x) = x^{α}

$f(x)=x^α$

— Карл

@Carl Це кілька років тому, але якщо я пам’ятаю, змінна була для деяких з PDF з en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution . Це було функцією, на яку я переймав сподівання. тобто

x \sim P o i s s o n (λ)

$x \sim Poisson(\lambda)$

λ

$\lambda$

f (x)

$f(x)$

E (f (x))

$E(f(x))$

— jlperla

Не впевнений, що ви просите. Як щодо того, що вищі моменти від розподілу Пуассона про походження є многочлени Тушара в : де {брекети} позначають числа Стірлінга другого роду?

m_{k}

$m_k$

λ

$\lambda$

m_{k} = \sum_{i = 0}^{k} λ^{i} {\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}},

$m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},$

— Карл

Відповіді:

За вашим припущенням, що реально аналітичний, Майже достовірно (фактично впевнено) переходить у . $f$

y_{n} = f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (μ) \frac{(x - μ)^{n}}{n!}

$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$

f (x)

$f(x)$

Стандартна умова, при якій як конвергенція передбачає конвергенцію очікування, тобто є що як для деяких таких, що . (Теорема переважаючої конвергенції.)

E [f (x)] = E [lim_{n \to \infty} y_{n}] = lim_{n \to \infty} E [y_{n}],

$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$

| y_{n} | \leq y

$|y_n| \leq y$

y

$y$

E [y] < \infty

$E[y] < \infty$

Ця умова буде дотримана, якщо ряду потужностей збігаються абсолютно як, тобто і

y = \sum_{n \geq 0} | f^{(n)} (μ) | \frac{| x - μ |^{n}}{n!} < \infty a . s .

$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$

E [y] < \infty .

$E[y] < \infty.$

Ваш приклад випадкової величини Пуассона і , , дозволяє припустити, що вищезазначена інтегральність критерію абсолютного граничного значення є найслабшою в цілому. $f(x)=x^{\alpha}$ $\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

— Майкл
джерело

-1

Наближення збіжиться, якщо функція f (x) допускає розширення ряду потужностей, тобто існують усі похідні. Це також буде повністю досягнуто, якщо похідні конкретного порогу і вище будуть дорівнювати нулю. Можна посилатися на Популіс [3-4] та Старк і Вудс [4].

— Е. Мербан
джерело

"Це також буде повністю досягнуто, якщо похідні конкретного порогу і вище будуть дорівнювати нулю." Якщо похідні існують і дорівнюють нулю, чи це не інший спосіб сказати многочлен?

— Накопичення

Це не правда. Коли "всі похідні існують" в точці розширення ряду потужностей, силові ряди не повинні нікуди сходитися . (Стандартний приклад - це серія Maclaurin ) Інший полягає в тому, що навіть коли серія конвергується в певний момент, їй не потрібно скрізь сходитися. Простий приклад - серія МаклаурінаКоли це відбувається, конвергенція залежить від деталей випадкової величини. Наприклад, припустимо, що має будь-який розподіл Стьюдента t і розглянемоЗрештою, навіть не існує!

e^{- 1 / x^{2}} .

$e^{-1/x^2}.$

1 / (1 - x) .

$1/(1-x).$

X

$X$

1 / (1 - X) = 1 + X + X^{2} + \dots + X^{n} + \dots .

$1/(1-X)=1+X+X^2+\cdots+X^n+\cdots.$

E (X^{n})

$E(X^n)$

— whuber