Яке статистичне обґрунтування інтерполяції?

Припустимо, що у нас є дві точки (наступна фігура: чорні кола), і ми хочемо знайти значення для третьої точки між ними (хрест). Дійсно, ми будемо оцінювати це на основі наших експериментальних результатів, чорних точок. Найпростіший випадок - намалювати лінію, а потім знайти значення (тобто лінійна інтерполяція). Якщо у нас були опорні точки, наприклад, як коричневі точки в обидві сторони, ми вважаємо за краще отримувати від них користь і підходити до нелінійної кривої (зелена крива).

Питання в тому, що таке статистичне обґрунтування для позначення Червоного хреста як рішення? Чому інші хрести (наприклад, жовті) - це не відповіді, де вони могли бути? Який умовивід чи (?) Підштовхує нас до прийняття червоного?

Я буду розробляти своє оригінальне запитання на основі відповідей на це дуже просте запитання.

Будь-яка форма функціонування, навіть непараметрична (яка, як правило, припускає гладкість кривої), передбачає припущення, а отже, і стрибок віри.

Стародавнє рішення лінійної інтерполяції - це те, що "просто працює", коли ваші дані є "дрібнозернистими" досить "(якщо ви дивитесь на коло досить близько, воно також виглядає рівним - просто запитайте Колумба), і це було можливо навіть до епохи комп'ютера (що не стосується багатьох сучасних сплайн-рішень). Є сенс припустити віру, що функція буде "продовжуватися в тій же (тобто лінійній) матерії" між двома точками, але немає апріорних підстав для цього ( за винятком знання про поняття , під руку).

Коли у вас є три (або більше) неколінеарних точок (наприклад, коли ви додаєте коричневі точки вище), стає зрозуміло, що лінійна інтерполяція між ними незабаром залучатиме гострі кути в кожному з них, що, як правило, небажано. Саме тут вступають інші варіанти.

Однак без подальших доменних знань, не можна з впевненістю стверджувати, що одне рішення краще, ніж інше (для цього вам слід було б знати, яке значення мають інші точки, перемагаючи мету пристосування функції до першість).

Зі свого боку, і, можливо, більше стосується вашого питання, під "умовами регулярності" (читайте: припущення : якщо ми знаємо, що функція є, наприклад, гладкою), і лінійна інтерполяція, і інші популярні рішення можуть бути доведені як "розумні". наближення. І все-таки: для цього потрібні припущення, і для них ми зазвичай не маємо статистики.

Ви можете опрацювати лінійне рівняння для лінії, що найкраще підходить (наприклад, y = 0,4554x + 0,7525), однак це спрацювало б лише за наявності міченої осі. Однак це не дасть точної відповіді лише найкращому, що відповідає одному відносно інших моментів.