Очікуване значення x при нормальному розподілі, НАДАЄТЬСЯ, що воно нижче певного значення

Цікаво, чи можна знайти очікуване значення x, якщо воно нормально розподіляється, враховуючи, що воно знаходиться нижче певного значення (наприклад, нижче середнього значення).

normal-distribution conditional-probability expected-value

— Жасмін
джерело

Звичайно, це можливо. Як мінімум, ви могли обчислити грубою силою . Або якщо ви знаєте та ви можете їх оцінити за допомогою моделювання.

F (t)^{- 1} \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(t)^{-1} \int_{- \infty}^{x} t f(t) dt$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— dsaxton

@dsaxton У цій формулі є деякі помилки, але ми отримуємо ідею. Мені цікаво, як саме ви запустили б моделювання, коли поріг значно нижче середнього.

— whuber

@whuber Так, має бути . Було б не дуже розумно робити моделювання, коли близький до нуля, але, як ви вказали, все одно є точна формула.

F (t)

$F(t)$

F (x)

$F(x)$

F (x)

$F(x)$

— dsaxton

@dsaxton Добре, досить справедливо. Я лише сподівався, що ви маєте на увазі якусь розумну та просту ідею для імітації з хвоста звичайного розподілу.

— whuber

Більш-менш те саме питання в Math.SE: math.stackexchange.com/questions/749664/average-iq-of-mensa

— JiK

Відповіді:

Нормально розподілена змінна із середнім та дисперсією має такий самий розподіл, як де - стандартна нормальна змінна. Все, що вам потрібно знати про це те $X$ $\mu$ $\sigma^2$ $\sigma Z + \mu$ $Z$ $Z$

його кумулятивна функція розподілу називається , $\Phi$
вона має функцію щільності ймовірності , і це $\phi(z) = \Phi^\prime(z)$
. $\phi^\prime(z) = -z \phi(z)$

Перші дві кулі - це лише позначення та визначення: третя - єдина особлива властивість нормальних розподілів, які нам знадобляться.

Нехай «певне значення» бути . Передбачаючи зміну від на , визначте $T$ $X$ $Z$

т = (Т - мк) / σ,

$t = (T-\mu)/\sigma,$

так що

Пр (Х \leq Т) = Пр (Z \leq т) = Φ (т) .

$\Pr(X \le T) = \Pr(Z \le t) = \Phi(t).$

Тоді, починаючи з визначення умовного очікування, ми можемо використовувати його лінійність для отримання

\begin{aligned} Е (Х | Х \leq Т) & = Е (σ Z + мк | Z \leq т) = σ Е (Z | Z \leq т) + мк Е (1 | Z \leq т) \\ = (σ \int_{- \infty}^{т} z ϕ (z) г z + мк \int_{- \infty}^{т} ϕ (z) г z) / Пр (Z \leq т) \\ = (- σ \int_{- \infty}^{т} ϕ^{'} (z) г z + мк \int_{- \infty}^{т} Φ^{'} (z) г z) / Φ (т) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(X\,|\, X \le T) &= \mathbb{E}(\sigma Z + \mu \,|\, Z \le t) = \sigma \mathbb{E}(Z \,|\, Z \le t) + \mu \mathbb{E}(1 \,|\, Z \le t) \\ &= \left(\sigma \int_{-\infty}^t z \phi(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \phi(z) dz \right) / \Pr(Z \le t)\\ &=\left(-\sigma \int_{-\infty}^t \phi^\prime(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \Phi^\prime(z) dz\right) / \Phi(t). }$

Фундаментальна теорема обчислення стверджує, що будь-який інтеграл похідної знаходимо, оцінюючи функцію в кінцевих точках: . Це стосується обох інтегралів. Так як і має дорівнювати нулю при , отримуємо $\int_a^b F^\prime(z) dz = F(b) - F(a)$ $\Phi$ $\phi$ $-\infty$

Е (Х | Х \leq Т) = мк - σ \frac{ϕ (т)}{Φ (т)} .

$\mathbb{E}(X\,|\, X \le T) = \mu - \sigma \frac{\phi\left(t\right)}{\Phi\left(t\right)}.$

Це початкове середнє значення мінус коригувальний термін, пропорційний співвідношенню зворотних фрез .

Як ми очікували, коефіцієнт зворотного Міллса для повинен бути позитивним і перевищувати (графік якого зображено пунктирною червоною лінією). Він повинен зменшуватися до коли зростає великим, тому тоді усічення при (або ) майже нічого не змінюється. Оскільки зростає дуже негативно, обернене співвідношення Міллз повинно наближатися оскільки хвости нормального розподілу зменшуються настільки швидко, що майже вся ймовірність у лівому хвості зосереджена біля правого боку (при ). $t$ $-t$ $0$ $t$ $Z=t$ $X=T$ $t$ $-t$ $t$

Нарешті, коли знаходиться на середньому значенні, де обернене відношення фрези дорівнює $T = \mu$ $t=0$ . Звідси випливає, що очікуване значення, усічене за середнім значенням (яке є від’ємникомнапів нормального розподілу), $\sqrt{2/\pi} \approx 0.797885$ $X$ кратне його стандартне відхилення нижче початкового середнього. $-\sqrt{2/\pi}$

— дзижчати
джерело

Взагалі, нехай має функцію розподілу . $X$ $F(X)$

Маємо для , $x\in[c_1,c_2]$ Ви можете отримати спеціальні випадки, взявши, наприклад,, що дає.

\begin{array}{rcl} П (Х \leq х | c_{1} \leq Х \leq c_{2}) & = & \frac{П (Х \leq х \cap c_{1} \leq Х \leq c_{2})}{П (c_{1} \leq Х \leq c_{2})} = \frac{П (c_{1} \leq Х \leq х)}{П (c_{1} \leq Х \leq c_{2})} \\ = & \frac{Ж (х) - Ж (c_{1})}{Ж (c_{2}) - Ж (c_{1})} \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|c_1\leq X \leq c_2)&=&\frac{P(X\leq x\cap c_1\leq X \leq c_2)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}=\frac{P(c_1\leq X \leq x)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}\\&=&\frac{F(x)-F(c_1)}{F(c_2)-F(c_1)} \end{eqnarray*}$

c_{1} = - \infty

$c_1=-\infty$

F (c_{1}) = 0

$F(c_1)=0$

Використовуючи умовні cdfs, ви можете отримати умовні щільності (наприклад, для ), які можна використовувати для умовних очікувань. $f(x|X<0)=2\phi(x)$ $X\sim N(0,1)$

Е (Х | Х < 0) = 2 \int_{- \infty}^{0} х ϕ (х) = - 2 ϕ (0),

$E(X|X<0)=2\int_{-\infty}^0x\phi(x)=-2\phi(0),$

— Крістоф Ганк
джерело

+1 (я якось пропустив це, коли він з’явився вперше). Перша частина - це чудовий опис того, як отримати усічені функції розподілу, а друга - як обчислити їх PDF-файли.

— whuber