Оцінювач біноміального розподілу

12

Як ми можемо визначити оцінювач для даних, що надходять з біноміального розподілу? Для bernoulli я можу придумати оцінювач, що оцінює параметр p, але для біноміального я не бачу, які параметри слід оцінити, коли у нас n характеризує розподіл?

Оновлення:

Під оцінкою я розумію функцію спостережуваних даних. Оцінювач використовується для оцінки параметрів розподілу, що генерує дані.

estimation binomial

— Рохіт Банга
джерело

Яке ваше розуміння "оцінювача"? Мені цікаво з цього приводу, тому що в оцінювачів немає "параметрів". Мене хвилює те, що ви не чітко повідомляєте своє запитання. Можливо, ви могли б дати конкретний приклад реальної ситуації, яку ви розглядаєте.

— whuber

@whuber додав більше інформації. дайте мені знати, якщо ви хочете, щоб я додавав більше деталей або якщо моє розуміння є хибним.

— Rohit Banga

Правка правильна, але конкретний приклад все-таки допоможе. У багатьох додатках розподілу біномів не є параметром: він заданий, а - єдиний параметр, який оцінюється. Наприклад, підрахунок успіхів у незалежних однаково розподілених випробуваннях Бернуллі має розподіл двочленів ( , ), а один оцінка єдиного параметра - .

n

$n$

p

$p$

k

$k$

n

$n$

n

$n$

p

$p$

p

$p$

k / n

$k/n$

— whuber

2

Я хотів би побачити приклад, навіть надуманий, оцінювати як і (у частофілістській обстановці). Подумайте над цим: ви спостерігаєте один рахунок, k , скажімо, . Ми очікуємо, що приблизно дорівнює . Отже, чи оцінюємо , ? А може, , ? Або майже нічого іншого? :-) Або ви припускаєте, що у вас може бути ряд незалежних спостережень все із загального двочленного розподілу з і

n

$n$

p

$p$

k = 5

$k=5$

k

$k$

n p

$n p$

n = 10

$n=10$

p = 0.5

$p=0.5$

n = 5000

$n=5000$

p = 0.001

$p=0.001$

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}

$k_1, k_2, \ldots, k_m$

(n, p)

$(n,p)$

p

$p$

n

$n$ невідомо?

— whuber

1

Я пропоную останнє - і p, і n невідомі. Я хочу оцінювач і n, і p як функції N спостережуваних точок даних.

— Рохіт Банга

12

Я думаю, що ви шукаєте, це функція, що генерує ймовірність. Виведення функції, що формує ймовірність біноміального розподілу, можна знайти в

http://economictheoryblog.com/2012/10/21/binomial-distribution/

Однак переглядати Вікіпедію - це завжди гарна ідея, хоча я мушу сказати, що специфікацію біноміалу можна було б покращити.

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution#Specification

— ProofGauss
джерело

1

Кожен розподіл має деякі невідомі параметри. Наприклад, у розподілі Бернуллі є один невідомий параметр ймовірність успіху (p). Так само в двочленному розподілі є два невідомих параметра n і p. Від вашої мети залежить, який невідомий параметр ви хочете оцінити. ви можете виправити один параметр, а другий - оцінку. Для отримання додаткової інформації див. Це

— любов-статистика
джерело

Що робити, якщо я хочу оцінити обидва параметри?

— Рохіт Банга

1

Для максимальної оцінки вірогідності вам слід взяти похідну функції ймовірності щодо зацікавлених параметрів (ів) і прирівняти це рівняння до нуля, а також вирішити рівняння. Я маю на увазі сказати, що процедура така ж, як і ви, оцінюючи p. Ви повинні зробити те ж саме з 'n'. перевірити це www.montana.edu/rotella/502/binom_like.pdf

— love-stats

@love Ваша орієнтир оцінює лише , приймаючи як фіксований.

p

$p$

N

$N$

— whuber

-1 @ love-stas. Для прикладу ситуації, коли отримання похідної функції ймовірності, прирівнюючи її до

тощо , не працює , див. Цю спробу і правильне рішення

0

$0$

— Діліп Сарват

1

Скажімо, у вас є дані . $k_1, \dots, k_m \sim \text{iid binomial}(n, p)$

Ви могли б легко отримати методом-на-момент оцінок з допомогою настройки і і рішення для і . $\bar{k} = \hat{n}\hat{p}$ $s_k^2 = \hat{n}\hat{p}(1-\hat{p})$ $\hat{n}$ $\hat{p}$

Або ви можете обчислити MLE (можливо, просто числово), наприклад, використовуючи optimв R.

— Карл
джерело

Виявляється, що ОМП дійсно жахливий для

--they зміщуються і дуже змінні, навіть при великих вибірках. Я не вивчав оцінки MM, частково тому, що вони часто навіть не визначені (коли

, що відбувається).

p < 1 / 2

$p \lt 1/2$

s^{2} / \bar{k} > 1

$s^2/\bar{k} \gt 1$

— whuber

@whuber - він не просив хорошого оцінювача. ;)

— Карл

1

Чому б не просто пропонувати

= 17 і

незалежно від того , що тоді? :-) Але у вас є пункт: питання навіть не визначає, що слід оцінювати. Якщо нам потрібен лише оцінювач для

, то наявний очевидний хороший.

\hat{n}

$\hat{n}$

\hat{p} = 1 / 2

$\hat{p}=1/2$

n p

$np$

— whuber

@whuber - Дійсно. І я не здивуюся , щоб знайти

для ОМП.

\hat{n} \approx max k_{i}

$\hat{n} \approx \max k_i$

— Карл

Це правильно: особливо, коли

близький до

, макс підрахунків становить MLE. Це дуже добре працює в таких випадках, як ви могли собі уявити. Для менших

, навіть при великій кількості даних, важко відрізнити це від розподілу Пуассона, для якого

фактично нескінченний, що призводить до величезної невизначеності в оцінці

.

p

$p$

1

$1$

p

$p$

n

$n$

n

$n$

— whuber

0

Я думаю, що ми могли б скористатися методом оцінки моментів для оцінки параметрів біноміального розподілу за середнім значенням та дисперсією.

$p$ $m$ $m$ $p$

м p = \bar{Х}, м p (1 - p) = S^{2} .

$mp =\bar{X},\quad mp(1-p) = S^2.$

Прості арифметичні покази: [S ^ 2 = mp \ ліворуч (1 - p \ праворуч) = \ бар {X} \ ліворуч (1 - p \ праворуч)] [S ^ 2 = \ bar {X} - \ bar {X } p] [\ bar {X} p = \ bar {X} -S ^ 2, \ mbox {тому} \ hat {p} = \ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X }}.] Потім, [\ bar {X} = mp, \ mbox {тобто} m \ зліва (\ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X}} \ праворуч)] [\ bar {X} = m \ зліва (\ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X}} \ праворуч), \ mbox {або} \ hat {m} = \ frac {\ бар {X} ^ 2} {\ бар {X} -S ^ 2}. ]

— сальма
джерело

1

Було б добре, якби ви могли розширити це, наприклад, написавши формулу для оцінювача MoM. Інакше відповідь не є самодостатньою; іншим (хто ще не знає відповіді) доведеться шукати в Інтернеті "метод моментів" тощо, поки вони не знайдуть реальну відповідь.

— jbowman

чи є спосіб викласти математику тут правильно?

— Девід Рефаелі