Яке розподіл для максимального (мінімуму) двох незалежних нормальних випадкових величин?

Зокрема, припустимо $X$ і $Y$є нормальними випадковими змінними (незалежними, але не обов'язково однаково розподіленими). З огляду на будь-який конкретний$a$, чи є приємна формула для $P(\max(X,Y)\leq x)$чи подібні поняття? Чи знаємо ми це?$\max(X,Y)$ зазвичай розподіляється, можливо, формула середнього та стандартного відхилень з точки зору значення для $X$ і $Y$? Я перевірив звичайні місця (wikipedia, google), але нічого не знайшов.

Максимум двох невідповідних нормалей можна виразити у вигляді розподілу Azzalini косо-нормальне. Див., Наприклад, робочий документ / презентацію Балакришнана 2007 року

Похилий погляд на статистику двоваріантних та багатоваріантних порядків
проф. Н. Балакришнан
Робочий документ / презентація (2007)

Недавній документ ( Надараджа та Коц - тут можна побачити ) дає деякі властивості макс$(X,Y)$:

Nadarajah, S. and Kotz, S. (2008), "Точне розподіл максимальних / хв двох гауссових випадкових змінних", IEEE ТРАНЗАКЦІЇ НА ДУЖЕ ВЕЛИКИХ СИСТЕМ ІНТЕГРАЦІЇ (VLSI), VOL. 16, НІ. 2, ЛЕВЕНЬ 2008

Про попередню роботу див.

А. П. Басу та Дж. К. Гош, “Ідентифікація мультинормальних та інших розподілів за конкуруючими моделями ризиків”, J. Multivariate Anal., Vol. 8, с. 413–429, 1978

Н. Н. Нагараджа та Н. Р. Мохан, “Про незалежність розподілу життя системи та причину збою”, скандинавський актуарій Ж., с. 188–198, 1982.

YL Tong, багатоваріантне нормальне розподіл. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг, 1990.

Можна також використовувати комп'ютерну систему алгебри для автоматизації обчислення. Наприклад, дано$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ з pdf $f(x)$, і $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ з pdf $g(y)$:

... pdf від $Z = max(X,Y)$ є:

де я використовую Maximumфункцію з пакета mathStatica Mathematica і Erfпозначає функцію помилки.

Я здивований, що в попередніх відповідях найцікавіша властивість не згадується: кумулятивно-ймовірний розподіл для максимуму є добутком відповідних кумулятивно-ймовірних розподілів.